সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x…’ ২০২৬ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখন, $y=af(\ln x)+b\sin \ln x$

বা, $y=a\cos (\ln x)+b\sin (\ln x)$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\{a\cos (\ln x)+b\sin (\ln x\left)\right\}$

বা, $y_1=-a\sin (\ln x)\cdot \frac{1}{x}+b\cdot \frac{1}{x}\cos (\ln x)$

বা, $x{y}_1=-a\sin (\ln x)+b\cos (\ln x)$

বা, $\frac{d}{dx}x{y}_1=\frac{d}{dx}\{-a\sin (\ln x)+b\cos (\ln x\left)\right\}$

বা, $x\frac{d}{dx}{y}_1+y_1\frac{d}{dx}x=-a\cdot \frac{1}{x}\cos (\ln x)-b\cdot \frac{1}{x}\sin (\ln x)$

বা, $x{y}_2+y_1\cdot 1=-\frac{1}{x}\{a\cos (\ln x)+b\sin (\ln x\left)\right\}$

বা, $x^2{y}_2+x{y}_1=-y$.

$\therefore x^2{y}_2+{\mathrm{xy}}_1+y=0$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

মনে করি,

$y=1+2f(\frac{\pi }{2}+x)+3\left\{f\right(x){\}}^2$

$=1+2\cos (\frac{\pi }{2}+x)+3{\cos }^{2}x$

$=1-2\sin x+3{\cos }^{2}x$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\begin{array}{cc}& \frac{dy}{dx}=0-2\cos x+3\cdot 2\cos x(-\sin x)\\ & \frac{dy}{dx}=-2\cos x-6\sin x\cdot \cos x\end{array}$

আবার, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\sin x-6(-{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$

$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\sin x-6({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$

চরমমানের জন্য, $\frac{dy}{dx}=0$

বা, $-2\cos x-6\sin x\cos x=0$

বা, $-2\cos x(1+3\sin x)=0$

বা, $\cos x(1+3\sin x)=0$

হয়, $\cos x=0$

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{2}$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$

অথবা, $1+3\sin x=0$.

বা, $\sin x=-\frac{1}{3}$

বা, $x={\sin }^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$

যেহেতু $0^{\circ }\le x\le \frac{\pi }{2}$

তাই $x={\sin }^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$ গ্রহণযোগ্য নয়।

$x=\frac{\pi }{2}$ এর জন্য $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=2\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-6\{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}\right)\}$

$=2\cdot 1-6(0-1)=2+6=8>0$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$ এর জন্য $y$ এর লঘুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ লঘুমান $=(1-2\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+3{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}\right))$

$=1-2\times 1+3\cdot 0=1-2=-1$

নির্ণেয় লঘুমান $=–1.$