সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x,A=sec−1⁡2x এবং B=sec−1⁡3y…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

GLb, $\sqrt{2}f\left(x\right)-\sqrt{2}f(\frac{\pi }{2}-x)=1$

$\Rightarrow \sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}-x)=1$

$\Rightarrow \sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x=1$

দ্বারাভাগ$\{\begin{array}{c}\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}\\ =\sqrt{2+2}=\sqrt{4}\\ =2দ্বারাভাগ\end{array}$

$\Rightarrow \cos x\frac{1}{\sqrt{2}}-\sin x\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \cos (x+\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=2n\pi \pm \frac{\pi }{3},n\in Z$

$(+\mathrm{ve})\Rightarrow x=2n\pi +\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=2n\pi +\frac{\pi }{12},n\in Z$

$(-\mathrm{ve})\Rightarrow x=2n\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=2n\pi -\frac{7\pi }{12},n\in Z$

$n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{12},x=-\frac{7\pi }{12}$

$n=1$ হলে, $x=2\pi +\frac{\pi }{12},x=2\pi -\frac{7\pi }{12}=\frac{17\pi }{12}$

দেওয়া আছে,

এবং$A={\sec }^{-1}\frac{2}{x}\text{ এবং }B={\sec }^{-1}\frac{3}{y}$

$\therefore A+B=\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow {\sec }^{-1}\frac{2}{x}+{\sec }^{-1}\frac{3}{y}=\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}\frac{x}{2}+{\cos }^{-1}\frac{y}{3}=\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow {\cos }^{-1}\{\frac{x}{2}\cdot \frac{y}{3}-(\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\cdot \sqrt{1-\frac{y^2}{9}})\}=\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow \frac{x}{2}\cdot \frac{y}{3}-(\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\cdot \sqrt{1-\frac{y^2}{9}})=\cos \frac{\pi }{2}=0$

$\Rightarrow \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}\cdot \sqrt{1-\frac{y^2}{9}}=\frac{xy}{6}$

$\Rightarrow (1-\frac{x^2}{4})(1-\frac{y^2}{9})=\frac{x^2{y}^2}{36}$

$\Rightarrow 1-\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^2{y}^2}{36}=\frac{x^2{y}^2}{36}$

$\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

নির্ণেয় সমীকরণটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।