সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$
বামপক্ষ $={\sin }^{-1}\left(\sqrt{2}f(\frac{\pi }{2}-\theta )\right)+{\sin }^{-1}(\sqrt{f\left(2\theta \right)}$ 

$\begin{array}{cc}& ={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}-\theta ))+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)\\ & ={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)\\ & ={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-(\sqrt{\cos 2\theta }{)}^2}+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-(\sqrt{2}\sin \theta {)}^2}\}\\ & ={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos 2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-2{\sin }^2\theta }\}\\ & ={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2{\sin }^2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{\cos 2\theta }\}\\ & ={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2}\sin \theta +\cos 2\theta \}\\ & ={\sin }^{-1}(2{\sin }^2\theta +\cos 2\theta )\\ & ={\sin }^{-1}(1-\cos 2\theta +\cos 2\theta )\\ & ={\sin }^{-1}\left(1\right)\\ & ={\sin }^{-1}\sin \frac{\pi }{2}\end{array}$
$=\frac{\pi }{2}$ 

= ডানপক্ষ 

$\therefore {\sin }^{-1}\left(\sqrt{2}f(\frac{\pi }{2}-\theta )\right)+{\sin }^{-1}(\sqrt{f\left(2\theta \right)}=\frac{\pi }{2}$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$
এখন, $\sqrt{2}f\left(\alpha \right)-\sqrt{2}f(\frac{\pi }{2}-\alpha )=1$
বা, $\sqrt{2}\cos \alpha -\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=1$
বা, $\sqrt{2}\cos \alpha -\sqrt{2}\sin \alpha \doteq 1$
বা, $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha =\frac{1}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha =\frac{1}{2}$
বা, $\cos \frac{\pi }{4}\cos \alpha -\sin \frac{\pi }{4}\sin \alpha =\frac{1}{2}$
বা, $\cos (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\cos \frac{\pi }{3}$
বা, $\frac{\pi }{4},+\alpha =2n\pi \pm \frac{\pi }{3};$ যেখানে $n\in Z$
বা, $\alpha =2n\pi \pm \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$
বা, $\alpha =2n\pi +\frac{\pi }{12},2n\pi -\frac{7\pi }{12}$
$\therefore \alpha =(24n+1)\frac{\pi }{12},(24n-7)\frac{\pi }{12};$ যেখানে $n\in Z$
$n=0$ হলে, $\alpha =\frac{\pi }{12},\frac{-7\pi }{12}$
$n=1$ হলে, $\alpha =\frac{25\pi }{12},\frac{17\pi }{12}$
$n=-1$ হলে, $\alpha =\frac{-23\pi }{12},\frac{-31\pi }{12}$
$-\pi <\alpha <\pi$ ব্যবধিতে, $\alpha =-\frac{7\pi }{12},\frac{\pi }{12}$.
নির্ণেয় সমাধান : $\alpha =-\frac{7\pi }{12},\frac{\pi }{12}$.