সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

এবং $f\left(2x\right)=\cos 2x$

ধরি, $g\left(x\right)=f(\frac{\pi }{2}-x)+f\left(2x\right)$

$=\sin x+\cos 2x=\sin x+1-2{\sin }^{2}x$

$\therefore g\left(x\right)=\cos x-2\sin 2x$

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=\cos x-4\cos 2x=\cos x-4({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$

লঘু ও গুরুমানের জন্য, $g^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $\cos x-2\sin 2x=0$

বা, $\cos x-2.2\sin x\cos x=0$

বা, $\cos x(1-4\sin x)=0$

হয়, $\cos x=0$

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{2}$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$

অথবা, $1-4\sin x=0$

বা, $4\sin x=1$

বা, $\sin x=\frac{1}{4}$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{4}$

$x=\frac{\pi }{2}$ হলে, $g^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=0-4(0-1)=4>0$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যামান।

$\therefore$ লঘুমান $=g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+1-2{\sin }^2\frac{\pi }{2}$

$=1+1-2\times 1^2$

$=1+1-2=2-2=0$

$x={\sin }^{-1}\frac{1}{4}$ হলে,

$g^{\prime \prime }({\sin }^{-1}\frac{1}{4})=\cos ({\sin }^{-1}\frac{1}{4})-4[{\{\cos ({\sin }^{-1}\frac{1}{4})\}}^2-{\{\sin ({\sin }^{-1}\frac{1}{4})\}}^2]$

$=\cos {\cos }^{-1}\frac{\sqrt{15}}{4}-4[{\{\cos ({\cos }^{-1}\frac{\sqrt{15}}{4})\}}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2]$

$=\frac{\sqrt{15}}{4}-4(\frac{15}{16}-\frac{1}{16})$

$=\frac{\sqrt{15}}{4}-\frac{7}{2}$

$=\frac{\sqrt{15}-14}{4}<0$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{4}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যমান ।

$\therefore$ গুরুমান $=g({\sin }^{-1}\frac{1}{4})$

$=\sin ({\sin }^{-1}\frac{1}{4})+1-2{\{\sin ({\sin }^{-1}\frac{1}{4})\}}^2$

$=\frac{1}{4}+1-2\times \frac{1}{16}$

$=\frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}=\frac{2+8-1}{8}=\frac{9}{8}$

নির্ণেয় লঘুমান $=0$ এবং গুরুমান $=\frac{9}{8}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore \int \left\{f\right(x){\}}^3\mathrm{dx}+\int \sqrt{1-\left\{f\right(x){\}}^2}\ln \{f\left(x\right)\}\mathrm{dx}$

$=\int {\cos }^{3}xdx+\int \sqrt{1-{\cos }^{2}x}\ln (\cos x)dx$

$=\frac{1}{4}\int 4{\cos }^{3}xdx+\int \sin x\ln (\cos x)dx$

$=\frac{1}{4}\int (3\cos x+\cos 3x)dx+\int (-\ln z)dz$

$=\frac{1}{4}\int 3\cos xdx+\frac{1}{4}\int \cos 3xdx-\int \ln zdz$

$=\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{4}\frac{\sin 3x}{3}-[\ln z\int \mathrm{dz}-\int \{\frac{d}{\mathrm{dz}}\ln z\int \mathrm{dz}\}\mathrm{dz}]$

$=\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}\sin 3x-[z\ln z-\int \frac{1}{z}\times \mathrm{zdz}]$

$=\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}\sin 3x-[z\ln z-\int dz]$

$=\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}\sin 3x-[z\ln z-z]+c$

$=\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}\sin 3x-[\cos x\ln (\cos x)-\cos x]+c$

$=\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}\sin 3x-\cos x\{\ln (\cos x)-1\}+c$