সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x এবং g(x,y)=x23+y23…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g(x,y)=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}$

$g(x,y)=k^{\frac{2}{3}}$ হলে, $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=k^{\frac{2}{3}}.$ ........ (i)

(i) নং কে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{2}{3}{x}^{\frac{2}{3}-1}+\frac{2}{3}{y}^{\frac{2}{3}-1}\frac{dy}{dx}=0$

বা, $x^{-\frac{1}{3}}+y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}=0$

বা, $\frac{dy}{dx}=-\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}$

$(x_1,y_1)$ বিদ্দুতে $\frac{dy}{dx}=-\frac{x_1^{-\frac{1}{3}}}{y_1^{-\frac{1}{3}}}$

$\therefore (x_1,y_1)$ ) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-y_1=\frac{dy}{dx}(x-x_1)=-\frac{x_1^{-\frac{1}{3}}}{y_1-\frac{1}{3}}(x-x_1)$

বা, $y_{y_1}{}^{-\frac{1}{3}}-y_1{}^{\frac{2}{3}}=-x{x}_1-\frac{1}{3}+x_1\frac{2}{3}$

বা, ${\mathrm{xx}}_1{}^{-\frac{1}{3}}+{\mathrm{yy}}_1{}^{-\frac{1}{3}}=x_1{}^{\frac{2}{3}}+y_1{}^{\frac{2}{3}}$.

$\therefore {\mathrm{xx}}_1^{-\frac{1}{3}}+y{y}_1-\frac{1}{3}=k^{\frac{2}{3}}$ [(i) নং হতে]

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, ${\mathrm{xx}}_{11}^{-\frac{1}{3}}+{\mathrm{yy}}_1-\frac{1}{3}=k^{\frac{2}{3}}$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

ধরি, $f\left(x\right)=\sqrt{3}h(\frac{\pi }{2}-x)+3f\left(x\right)=\sqrt{3}\cos (\frac{\pi }{2}-x)+3\cdot \cos x$

বা, $f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin x+3\cos x$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{3}\cos x-3\sin x$

$\therefore f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\sqrt{3}\sin x-3\cos x$

চরম মানের জন্য, $f^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $\sqrt{3}\cos x-3\sin x=0$

বা, $3\sin x=\sqrt{3}\cos x$ বা, $\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

বা, $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ বা, $\tan x=\tan {30}^{\circ }=\tan ({180}^{\circ }+{30}^{\circ })$

বা, $x={30}^{\circ },{210}^{\circ },0<x<{360}^{\circ }$

$f^{\prime \prime }\left({30}^{\circ }\right)=-\sqrt{3}\sin {30}^{\circ }-3\cos {30}^{\circ }$

$=-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{4\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}<0$

$\therefore x={30}^{\circ }$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর গুরুমান বিদ্যমান।

$\therefore f\left(x\right)$ এর গুরুমান $f\left({30}^{\circ }\right)=\sqrt{3}:\sin {30}^{\circ }+3\cos {30}^{\circ }=2\sqrt{3}$

আবার, $f^{\prime \prime }\left({210}^{\circ }\right)=-\sqrt{3}\sin {210}^{\circ }-3\cos {210}^{\circ }$

$=-\sqrt{3}\sin ({180}^{\circ }+{30}^{\circ })-3\cos ({180}^{\circ }+{30}^{\circ })$

$=-\sqrt{3}(-\sin {30}^{\circ })-3\cos {30}^{\circ }$

$=-\sqrt{3}\cdot (-\frac{1}{2})-3\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}>0$

$\therefore x={210}^{\circ }$ এর জন্য $f\left(x\right)$ এর লঘুমান বিদ্যমান ।

$\therefore f\left(x\right)$ এর লঘুমান $=f\left({210}^{\circ }\right)$

$=\sqrt{3}\sin {210}^{\circ }+3\cos {210}^{\circ }$

$=\sqrt{3}(-\frac{1}{2})+3(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{4\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}$

নির্ণেয় গুরুমান $2\sqrt{3}$ এবং লঘুমান $-2\sqrt{3}$.