সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x,g(x)=sin⁡x…’ সরকারি বজ্রমোহন কলেজ ২০২৪ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\cos x,g\left(x\right)=\sin x$

এখন,

$f\left(\pi g\right(\theta \left)\right)=g\left(\pi f\right(\theta \left)\right)$

$\Rightarrow f\left(\pi sin\theta \right)=g(\pi \cos \theta )$

$\Rightarrow \cos (\pi \sin \theta )=\sin (\pi \cos \theta )$

$\Rightarrow \sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \theta )=\sin (\pi \cos \theta )$

$\Rightarrow \frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \theta =\pi \cos \theta$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\pm \sin \theta =\cos \theta$

$\Rightarrow \cos \theta \pm \sin \theta =\frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\cos \theta \pm \sin \theta {)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ [বর্গ করে]

$\Rightarrow {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \pm 2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$

$\Rightarrow 1\pm \sin 2\theta =\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \pm \sin 2\theta =\frac{1}{4}-1$

$\Rightarrow \pm \sin 2\theta =-\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \pm \sin 2\theta =\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \pm 2\theta ={\sin }^{-1}\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \theta =\pm \frac{1}{2}{\sin }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\cos x,g\left(x\right)=\sin x$

এখন,

$f\left(x\right)+g\left(x\right)=f\left(2x\right)+g\left(2x\right)$

$\Rightarrow \cos x+\sin x=\cos 2x+\sin 2x$

$\Rightarrow \cos x-\cos 2x=\sin 2x-\sin x$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=2\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}(\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2})=0$

$\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}=r\pi$

$\because x=2r\pi$

আবার,

$\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=0$

$\Rightarrow \sin \frac{3x}{2}=\cos \frac{3x}{2}$

$\Rightarrow \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\cos \frac{3x}{2}}=1$

$\Rightarrow \tan \frac{3x}{2}=1$

$\Rightarrow \tan \frac{3x}{2}=\tan \frac{x}{4}$

$\Rightarrow \frac{3x}{2}=nx+\frac{x}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{2}{3}n\pi +\frac{\pi }{6}$

$\therefore x=2nx,\frac{2}{3}nx+\pi /6;n\in z.$