সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

এখন, $\frac{f\left(x\right)+f\left(3x\right)}{f\left(5x\right)+f\left(7x\right)}=-1$

বা, $\frac{\cos x+\cos 3x}{\cos 5x+\cos 7x}=-1$

বা, $\cos x+\cos 3x=-\cos 5x-\cos 7x$

বা, $\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\cos 7x=0$

বা, $\cos 7x+\cos x+\cos 5x+\cos 3x=0$

বা, $2\cos \frac{7x+x}{2}\cos \frac{7x-x}{2}+2\cos \frac{5x+3x}{2}\cos \frac{5x-3x}{2}=0$

বা, $\cos 4x\cdot \cos 3x+\cos 4x\cdot \cos x=0$

বা, $\cos 4x(\cos 3x+\cos x)=0$

বা, $\cos 4x(2\cos \frac{3x+x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2})=0$

বা, $\cos 4x\cdot \cos 2x\cdot \cos x=0$

বা, $4x=(2n+1)\frac{\pi }{2};$

যেখানে, $n\in Z$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{8}$

অথবা, $\cos 2x=0$

বা, $2x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$;

যেখানে, $n\in Z$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{4}$

অথবা, $\cos x=0$

বা, $x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$,

যেখানে, $n\in Z$

নির্ণেয় সমাধান : $x=(2n+1)\frac{\pi }{8},(2n+1)\frac{\pi }{4}$ এবং $(2n+1)\frac{\pi }{2}$, যেখানে $n\in Z$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x$

$\therefore f\left(\theta \right)=\cos \theta$

এখন, $\frac{f\left(\theta \right)}{1+f(\frac{\pi }{2}-\theta )}+\frac{f(\frac{\pi }{2}-\theta )}{f\left(\theta \right)}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta }{1+\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )}+\frac{\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )}{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta (1-\sin \theta )}{(1+\sin \theta )(1-\sin \theta )}+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta (1-\sin \theta )}{1-{\sin }^2\theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{\cos \theta (1-\sin \theta )}{{\cos }^2\theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1-\sin \theta +\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }=\frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos \theta =\cos \frac{\pi }{6}$

বা, $\theta =2n\pi \pm \frac{\pi }{6}$, যেখানে $n\in Z$

$\therefore \theta =(12n\pm 1)\frac{\pi }{6}$, যেখানে $n\in Z$

$n=0$ হলে, $\theta =-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $\theta =\frac{13\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$

$n=-1$ হলে, $\theta =\frac{-11\pi }{6},\frac{-13\pi }{6}$

$\therefore -\pi <x\le \pi$ ব্যবধিতে, $\theta =-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta =-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}$