সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x;P=sin−1⁡25−12sin−1⁡35+sin−1⁡110…’ ঢাকা সিটি কলেজ ২০২৪ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$f\left(x\right)=\cos x$

$1+f\left(2x\right)+f\left(4x\right)+f\left(6x\right)=0$

বা, $1+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0$

বা, $(1+\cos 6x)+(\cos 2x+\cos 4x)=0$

বা, $2{\cos }^{2}3x+2\cos 3x\cdot \cos x=0$

বা, $2\cos 3x(\cos 3x+\cos x)=0$

বা, $2\cos 3x\cdot 2\cos 2x\cdot \cos x=0$

বা, $\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 3x=0$

$\therefore \cos x=0$ হলে, $x=(2n+1)\frac{\pi }{2};n\in Z$

$\therefore \cos 2x=0$

বা, $2x=(2n+1)\frac{\pi }{2}:x=(2n+1)\frac{\pi }{9};n\in Z$

$\therefore \cos 3x=0$

বা, $3x=(2n+1)\frac{\pi }{2}\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{6};n\in Z$

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান, $x=(2n+1)\frac{\pi }{2},(2n+1)\frac{\pi }{4},(2n+1)\frac{\pi }{6}$

এখানে, $n\in Z$

P $={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{10}}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\therefore P={\tan }^{-1}2$

বামপক্ষ $=\tan P$

$=\tan ({\tan }^{-1}2)$

$=\tan {\tan }^{-1}\left(2\right)$

$=2$

= ডানপক্ষ

$\therefore \tan \beta =2\text{ ( }\pi \sqrt{\pi }\cos 2$