সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cos⁡x−cos⁡7x এবং g(x)=sin⁡x…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

 দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos x-\cos 7x$

$\therefore f\left(\alpha \right)=\cos \alpha -\cos 7\alpha$

এ খানে, $f\left(\alpha \right)=\sin 4\alpha$

বা, $\cos \alpha -\cos 7\alpha =\sin 4\alpha$

বা, $2\sin \frac{7\alpha +\alpha }{2}\sin \frac{7\alpha -\alpha }{2}=\sin 4\alpha$

বা, $2\sin 4\alpha \sin 3\alpha -\sin 4\alpha =0$

বা, $\sin 4\alpha (2\sin 3\alpha -1)=0$

হয়, $\sin 4\alpha =0$

বা, $4\alpha =n\pi ;n\in Z$

$\therefore \alpha =\frac{n\pi }{4}$

অথবা, $2\sin 3\alpha =1$

বা, $\sin 3\alpha =\frac{1}{2}$

বা, $\sin 3\alpha =\sin \frac{\pi }{6}$

বা, $3\alpha =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6};n\in Z$

$\therefore \alpha =\frac{n\pi }{3}+(-1{)}^n\frac{\pi }{18}$

নির্ণেয় সমাধান : $\alpha =\frac{n\pi }{4},\frac{n\pi }{3}+(-1{)}^n\frac{\pi }{18}$, যেখানে $n\in Z$.

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=\sin x$

$g(\frac{\pi }{2}-x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$

$g\left(\pi g(\frac{\pi }{2}-x)\right)=g(\pi \cos x)=\sin (\pi \cos x)$

$g(\frac{\pi }{2}-\pi g(x\left)\right)=g(\frac{\pi }{2}-\pi \sin x)$

$=\sin (\frac{\pi }{2}-\pi \sin x)=\cos (\pi \sin x)$

এখন, $g\left(\pi g(\frac{\pi }{2}-x)\right)=g(\frac{\pi }{2}-\pi g(x\left)\right)$ হলে,

$\sin (\pi \cos x)=\cos (\pi \sin x)$

বা, $\sin (\pi \cos x)=\sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin x)$

বা, $\pi \cos x=\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin x$

বা, $\cos x=\frac{1}{2}\pm \sin x$

বা, $\cos x\pm \sin x=\frac{1}{2}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

বা, $\cos (x\pm \frac{\pi }{4})=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

বা, $x\pm \frac{\pi }{4}={\cos }^{-1}\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\therefore x=\pm \frac{\pi }{4}+{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)\cdot$ (প্রমাণিত)