সৃজনশীলঃ ‘f(x)=cot−1⁡y−tan−1⁡x …………… (i)cos⁡θ−cos⁡9θ=sin⁡5θ…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, ${\cot }^{-1}y-{\tan }^{-1}x=\frac{\pi }{6}$

বা, ${\tan }^{-1}\frac{1}{y}-{\tan }^{-1}x=\frac{\pi }{6}$

বা, ${\tan }^{-1}\frac{\frac{1}{y}-x}{1+\frac{1}{y}\cdot x}=\frac{\pi }{6}$

বা, $\frac{\frac{1-xy}{y}}{\frac{y+x}{y}}=\tan \frac{\pi }{6}$ বা, $\frac{1-xy}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $x+y=\sqrt{3}-\sqrt{3}xy$
$\therefore x+y+\sqrt{3}xy=\sqrt{3}$ (প্রমাণিত)

$\cos \theta -\cos 9\theta =\sin 5\theta$

বা, $2\sin 5\theta \sin 4\theta =\sin 5\theta$
বা, $\sin 5\theta (2\sin 4\theta -1)=0$

হয়, $\sin 5\theta =0$    অথবা, $2\sin 4\theta -1=0$

বা, $5\theta =n\pi$  বা, $2\sin 4\theta =1$

$\therefore \theta =\frac{n\pi }{5}$  বা, $\sin 4\theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$

                                                                বা, $4\theta =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$

                                                                 $\therefore \theta =\frac{n\pi }{4}+(-1{)}^n\frac{\pi }{24}$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান, $\theta =\frac{n\pi }{5},\frac{n\pi }{4}+(-1{)}^n\frac{\pi }{24}$; যখন n এর মান শুন্য অথবা যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা