সৃজনশীলঃ ‘f(x)=emx,u=1x,v=1−cos⁡7x3x.…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $u=\frac{1}{x}$

এবং $v=\frac{1-\cos 7x}{3x}$

প্রদত্ত রাশি $=\underset{n\to 0}{lim}\left(\mathrm{uv}\right)$

$=\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x}\cdot \frac{1-\cos 7x}{3x})$

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2{\sin }^2\frac{7x}{2}}{3x^2}$

$=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^2\frac{7x}{2}}{x^2}$

$=\frac{2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\times \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{7x}{2}}{\frac{7x}{2}}\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}$

$=\frac{2}{3}\times 1\times 1\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2}[\therefore x\to 0$ रनে $\frac{7x}{2}\to 0]$

$=\frac{49}{6}$

নির্ণেয় মান : $\frac{49}{6}$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=e^{\mathrm{mx}}$

$\therefore f(x+h)=e^{m(x+h)}=e^{\mathrm{mx}+\mathrm{mh}}$

মূল নিয়নের সংজ্ঞানুসারে,

$\frac{d}{dx}f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{mx+mh}-e^{mx}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{mx}\cdot e^{mh}-e^{mx}}{h}$

$=e^{mx}\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{mh}-1}{h}$

$=e^{\mathrm{mx}}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\{1+\mathrm{mh}+\frac{m^2{h}^2}{2!}+\frac{m^3{h}^3}{3!}+\cdots \dots -1\}$

$=e^{\mathrm{mx}}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}(\mathrm{mh}+\frac{m^2{h}^2}{2!}+\frac{m^3{h}^3}{3!}+\cdots \dots )$

$=e^{mx}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\cdot mh\{1+\frac{mh}{2!}+\frac{m^2{h}^2}{3!}+\cdots \}$

$=e^{\mathrm{mx}}\cdot m(1+0)={\mathrm{me}}^{\mathrm{mx}}$

নির্ণেয় অন্তরজ : $m{e}^{\mathrm{mx}}$.