সৃজনশীলঃ ‘f(x)=excos⁡x,g(x)=3x দুইটি ফাংশন।…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=3^x$.

$\therefore g(-x)=3^{-x}$

এবং $g<g(-(x+h\left)\right)=3^{-(x+h)}=3^{-x}\cdot 3^{-h}$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে,

$\frac{d\left\{g\right(-x\left)\right\}}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(-(x+h\left)\right)-g(-x)}{h}$

বা, $\frac{d}{dx}\left(3^{-x}\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{3^{-x}\cdot 3^{-h}-3^{-x}}{h}$

$\underset{h\to 0}{lim}\frac{3^{-x}(3^{-h}-1)}{h}=3^{-x}\underset{h\to 0}{lim}\frac{3^{-h}-1}{h}$

$=3^{-x}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1+(-h\ln 3)+\frac{(-h\ln 3{)}^2}{2!}+\frac{(-h\ln 3{)}^3}{3!}+\dots \dots .-1}{h}$

$=3^{-x}\underset{h\to 0}{lim}(-\ln 3+\frac{h(\ln 3{)}^2}{2!}-\frac{h^2(\ln 3{)}^3}{3!}+\dots \dots .)=-3^{-x}\ln 3$

নির্ণেয় অন্তরজ : $-3^{-\star }\ln 3$.

ধরি, $y=f\left(x\right)=e^x\cos x$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=e^x(-\sin x)+e^x\cdot \cos x$

$\therefore \frac{dy}{dx}=e^x\cos x-e^x\sin x$

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=(-e^x\sin x+e^x\cos x)-(e^x\cos x+e^x\sin x)$

$=-e^x\sin x+e^x\cos x-e^x\cos x-e^x\sin x$

$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2e^x\sin x$

চরম মানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $e^x\cos x-e^x\sin x=0$

বা, $e^x\cos x=e^x\sin x$

বা, $\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{e^x}{e^x}$

বা, $\tan x=1=\tan \frac{\pi }{4}$

$\therefore x=\frac{\pi }{4}$

$x=\frac{\pi }{4}$ হলে, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2e^{\frac{\pi }{4}}\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)<0$

$\therefore x=\frac{\pi }{4}$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান, $y_{max}=e^{\frac{\pi }{4}}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{e^{\frac{\pi }{4}}}{\sqrt{2}}$.

নির্ণেয় চরম মান : $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}}{\sqrt{2}}$.

লক্ষ কর : ধরি, $y=f\left(x\right)=e^x\cos x$ 

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(e^x\cos x)$

বা, $\frac{dy}{dx}=\cos x\frac{d}{dx}\left(e^x\right)+e^x\frac{d}{dx}(\cos x)$

বা, $\frac{dy}{dx}=e^x\cos x+e^x(-\sin x)=e^x(\cos x-\sin x)$

$=e^x\cdot \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x)$

$=\sqrt{2}{e}^x(\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4})$

বা, $\frac{dy}{dx}=\sqrt{2}{e}^x\cos (x+\frac{\pi }{4})[\because \cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos (A+B\left)\right]$

আবার, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2e^x\cos (x+\frac{\pi }{2})=-2e^x\sin x$

এখন, চরম মানের জন্য, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$

বা, $\sqrt{2}{e}^x\cos (x+\frac{\pi }{4})=0$

বা, $e^x\cos (x+\frac{\pi }{4})=0$

বা, $\cos (x+\frac{\pi }{4})=0$ [যেহেতু $e^x\ne 0$ ]

বা, $\cos (x+\frac{\pi }{4})=\cos (2n+1)\frac{\pi }{2}$

বা, $x+\frac{\pi }{4}=n\pi +\frac{\pi }{2};n\in Z$

বা, $x=n\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=n\pi +\frac{\pi }{4}$

অর্থাৎ $x$ এর অসংখ্য মানের জন্য $f\left(x\right)$ এর চরম মান পাওয়া যাবে এবং সেই মানগুলো হবে স্থানীয়। আর স্থানীয় চরম মানের জন্য প্রশ্নে একটি সীমা থাকা আবশ্যক। যেহেতু প্রশ্নে কোনো সীমা দেওয়া নেই, তাই $0\le x\le 2\pi$ সীমা ধরে নেওয়া হলো।

$n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{4}$ হবে।

।$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2e^{\frac{\pi }{4}}\sin \frac{\pi }{4}<0।$

সুতরাং $x=\frac{\pi }{4}$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।

$\therefore$ সর্বোচ্চ মান $y_{max}=e^{\frac{\pi }{4}}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{e^{\frac{\pi }{4}}}{\sqrt{2}}$

$n=1$ হলে, $x=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$ হবে।

।$\therefore \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-2e^{\frac{5\pi }{4}}\sin \frac{5\pi }{4}=\sqrt{2}>0।$

সুতরাং $x=\frac{5\pi }{4}$ বিন্দুতে $f\left(x\right)$ ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান ।

$\therefore$ সর্বনিম মান, $y_{min}=e^{\frac{5\pi }{4}}\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{e^{\frac{5\pi }{4}}}{\sqrt{2}}$

সুতরাং $0\le x\le 2\pi$ সীমার মধ্যে উদ্দীপকের $f\left(x\right)$ এর চরম মান তথা সর্বোচ্চ ও সর্বনিম মান যথাক্রমে $\frac{e^{\frac{\pi }{4}}}{\sqrt{2}}$ ও $-\frac{e^{\frac{5\pi }{4}}}{\sqrt{2}}$