সৃজনশীলঃ ‘F(x)=ln⁡(x)…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

ধরি, $y=e^{2F\left(x\right)}+{\left(x^x\right)}^x$

$=e^{2\ln x}+x^{x^2}$

$=e^{\ln x^2}+x^{x^2}$

$\therefore y=x^2+x^{x^2}$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2+x^{x^2})\frac{dy}{dx}$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}{x}^2+\frac{d}{dx}{x}^{x^2}\frac{dy}{dx}$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x+\frac{du}{dx}$

যেখানে, $u=x^{x^2}$

এখন,

$u=x^{x^2}$

$\Rightarrow \ln u=\ln x^{x^2}$

$\Rightarrow \ln u=x^2\ln x$

$\Rightarrow \frac{d}{dx}\ln u=\frac{d}{dx}(x^2\ln x)$

$\Rightarrow \frac{1}{u}\frac{du}{dx}=x^2\frac{d}{dx}\ln x+\ln x\frac{d}{dx}{x}^2=x^2\frac{1}{x}+$

$2x\ln x=x+2x\ln x$

$\Rightarrow \frac{du}{dx}=u(x+2x\ln x)=x^{x^2}(x+2x\ln x)$

(1) নং এ $\frac{du}{dx}$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{du}{dx}=2x+x^{x^2}(x+2x\ln x)$

নির্ণেয় অন্তরজঃ $2x+x^{x^2}(x+2x\ln x)$

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

ধরি,

$g\left(x\right)=\frac{e^{F\left(x\right)}}{F\left(x\right)}=\frac{e^{\ln x}}{\ln x}=\frac{x}{\ln x}$

$g^{\prime \left(x\right)}=\frac{\ln x\frac{d}{dx}x-x\frac{d}{dx}\ln x}{(\ln x{)}^2}$

$g^{\prime \prime \left(x\right)}=\frac{(\ln x{)}^2\frac{d}{dx}(\ln x-1)-(\ln x-1\left)\frac{d}{dx}\right(\ln x{)}^2}{(\ln x{)}^4}=\frac{(\ln x{)}^2\frac{1}{x}-(\ln x-1)2\ln x\frac{1}{x}}{(\ln x{)}^4}$

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের জন্য,

$g^{\prime \left(x\right)}=0$

$\frac{\ln x-1}{(\ln x{)}^2}=0$

$\ln x-1=0$

$\ln x=1$

$\ln x=\ln e$

$x=e$

এখন, $x=e$ হলে,

$g^{\prime \prime }\left(e\right)=\frac{(\ln e{)}^2\frac{1}{2}-(\ln e-1)\cdot 2\ln e\cdot \frac{1}{e}}{(\ln e{)}^4}$

$=\frac{1\cdot \frac{1}{e}-0}{1}=\frac{1}{e}>0$

$x=e$ এর জন্য $g\left(x\right)$ এর ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যমান।

ক্ষুদ্রতম মান,

$g\left(e\right)=\frac{e}{\ln e}=\frac{e}{1}=e$

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম মান $e$