সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ln=8+x8−x এবং a2+2=323+3−23…’ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

[বি.দ্র.: P এর পরিবর্তে a হবে]

দেওয়া আছে $p^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{-2}{3}}$

বা, $p^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2+{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^2-2$

বা, $p^2={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^2-2\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}+{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^2$

বা, $p^2={(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})}^2$

বা, $p=3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $(p{)}^3={(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})}^3$ [ঘন করে]

বা, $p^3={\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^3-{\left(3^{\frac{-1}{3}}\right)}^3-3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{-1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{-1}{3}})$

বা, $p^3=3-3^{-1}-{33}^0\cdot p[\because p=3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}}]$

বা, $p^3=3-\frac{1}{3}-3p$

বা, $3p^3=9-1-9p$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

$\therefore 3p^3+9p=8$

সুতরাং, $3p^3+9p=8$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=\ln \frac{8+x}{8-x}$

এখানে, $y=F\left(x\right)=\ln \frac{8+x}{8-x}$

লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

$\therefore F\left(x\right)\in R$ হবে যদি $\frac{8+x}{8-x}>0$ হয়

এখন, $\frac{8+x}{8-x}>0$ হবে যদি (1) $8+x>0$ এবং $8-x>0$ হয়

অথবা, (2) $8+x<0$ এবং $8-x<0$ হয়।

(1)নং হতে পাই, $x>-8$ এবং $-x>-8$

বা, $x>-8$ এবং $x<8$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x>-8\}\cap \{x:x<8\}$

$=(-8,\infty )\cap (-\infty ,8)=(-8,8)$

(2)নং হতে পাই, $x<-8$ এবং $-x<-8$

বা, $x<-8$ এবং $x>8$

$\therefore$ ডোমেন $=\{x:x<-8\}\cap \{x:x>8\}$

$=(-\infty ,-8)\cap (8,\infty )=\varnothing$

$\therefore F\left(x\right)$ ফাংশনের ডোমেন,

$D_F=\left(1\right)$ ও (2) নং থেকে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ

$=(-8,8)\cup \varnothing =(-8,8)$

আবার, $y=F\left(x\right)=\ln \frac{8+x}{8-x}$

বা, $e^y=\frac{8+x}{8-x}$

বা, $8+x=8e^y-x{e}^y$

বা, $x+x{e}^y=8e^y-8$

বা, $x(1+e^y)=8(e^y-1)$

বা, $x=\frac{8(e^y-1)}{e^y+1}$

$y$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $x$ এর মান বাস্তব হয়।

$\therefore F\left(x\right)$ ফাংশনের রেঞ্জ, $R_F=R$

নির্ণেয় ডোমেন $(-8,8)$ এবং রেঞ্জাত্জ.