সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ln⁡x এবং g(x)=4×3+3×2−6x+34…’ চট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃকলেজ ২০২৫ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln x$

$p=2$হলে, $f\left(x\right)=\ln 2x$

$\therefore f(x+h)=n2(x+h)=In(2x+2h)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে,

$\frac{d}{dx}\left\{f\right(x\left)\right\}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln 3(x+h)-\ln 3x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (3x+3h)-\ln 3x}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\frac{3h}{3x})}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\frac{h}{x}-\frac{h^2}{2x^2}+\frac{h^3}{3x^2}\cdots \cdots \cdots )}{h}$

$=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{1}{x}-\frac{h}{2x^2}+\frac{h^2}{3x^2}\dots \dots \dots )$

নির্ণেয় অন্তরজ $=\frac{1}{x}$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=4x^3+3x^2-6x+34$

$\therefore g^{\prime }\left(x\right)=12x^2+6x-6$

$\therefore g^{\prime \prime }\left(x\right)=24x+6$

লঘু ও গুরুমানের জন্য, $g^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $12x^2+6x-6=0$

বা, $2x^2+x-1=0$

বা, $2x^2+2x-x-1=0$

বা, $2x(x+1)-1(x+1)=0$

বা, $(x+1)(2x-1)=0$

$\therefore x=\frac{1}{2},-1$

$x=\frac{1}{2}$ হলে, $g^{\prime \prime }\left(\frac{1}{2}\right)=24\cdot \frac{1}{2}+6=18>0$

$\therefore x=\frac{1}{2}$ এর জন্য ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান

$\therefore$ ফাংশনটির লঘুমান

$=g\left(\frac{1}{2}\right)=4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\cdot \frac{1}{2}+34$

$=4\cdot \frac{1}{8}+3\cdot \frac{1}{4}-6\cdot \frac{1}{2}+34$

$=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-3+34=\frac{2+3-12+136}{4}=\frac{129}{4}$

আবার, $x=-1$ হলে, $g^{\prime \prime }(-1)=24\cdot (-1)+6=-24+6=-18<0$

$\therefore x=-1$ এর জন্য ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

$\therefore$ ফাংশনটির গুরুমান $=g(-1)$

$=4\cdot (-1{)}^3+3\cdot (-1{)}^2-6.(-1)+34$

$=-4+3+6+34=39$

নির্ণেয় লঘুমান $\frac{129}{4}$ এবং গুরুমান 39.