সৃজনশীলঃ ‘f(x)=ln⁡x,g(x)=(x+1+x2)…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\ln x$

$\therefore f(x+4)=\ln (x+4)$

মূল নিয়নে অন্তরীকরণের সংখ্যা হতে পাই,

$\frac{d}{dx}f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$\Rightarrow \frac{d}{dx}f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\{\ln (x+h)-\ln x\}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\ln \frac{x+h}{x}$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\ln (1+\frac{h}{x})$

$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}(\frac{h}{x}-\frac{h^2}{2x^2}+\frac{h^3}{3x^3}+\cdots )$

$=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{1}{x}-\frac{h}{2x^2}+\frac{h^2}{3x^2}+\cdots )$

$\therefore \frac{d}{dx}f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

উদ্দীপক হতে পাই, $g\left(x\right)=x+\sqrt{1+x^2}$

$\therefore z=\left\{g\right(x){\}}^m$

$={(x+\sqrt{1+x^2})}^m$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=m{(x+\sqrt{1+x^2})}^{m-1}\times (1+\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\times 2x)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=m\frac{{(x+\sqrt{1+x^2})}^m}{x+\sqrt{1+x^2}}(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=\frac{mz}{x+\sqrt{1+x^2}}\times \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}$

$\Rightarrow \left(\sqrt{1+x^2}\right)\frac{dz}{dx}=mz$

$\Rightarrow (1+x^2){\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2=m^2{z}^2$

$\Rightarrow (1+x^2)2\cdot \frac{dz}{dx}\cdot \frac{d^{2}z}{d{x}^2}+{\left(\frac{dz}{dx}\right)}^2\times 2x=m^2\times 2z\times \frac{dz}{dx}$

$\Rightarrow (1+x^2)\frac{d^{2}z}{d{x}^2}+x\frac{dz}{dx}-m^{2}z=0$ (প্রমাণিত)