সৃজনশীলঃ ‘f(x)=log3⁡xy=2x…(i)x2+y2=8x…(ii)…’ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)={\log }_{3}x$

$={\log }_{3}e{\log }_{e}x$

বা, $f\left(x\right)={\log }_{3}e\ln x$

$\therefore f(x+h)={\log }_{3}e\ln (x+h)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে, $\frac{d}{dx}f\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

$\therefore \frac{d}{dx}({\log }_{3}x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_{3}e\ln (x+h)-{\log }_{3}e\ln x}{h}$

$={\log }_{3}e\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}={\log }_{3}e\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\cdot \ln \left(\frac{x+h}{x}\right)$

$={\log }_3{e}_{h\to 0}\underset{h\to 0}{lim}\ln (1+\frac{h}{x})={\log }_{3}e\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\{\frac{h}{x}-\frac{h^2}{2x^2}+\frac{h^3}{2x^3}-\dots ...\}$

$={\log }_{3}e\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\frac{h}{x}\{1-\frac{h}{2x}+\frac{h^2}{3x^2}-\dots ..\}\}$

$={\log }_{3}e\frac{1}{x}(1-0)=\frac{1}{x}{\log }_{3}e$

$\therefore \frac{d}{dx}({\log }_{3}x)=\frac{1}{x}{\log }_{3}e.$

দেওয়া আছে, $y=2x$

এবং $x^2+y^2=8x$

(i) ও (ii) থেকে পাই, $x^2+(2x{)}^2=8x$

বা, $x^2+4x^2=8x$ বা, $5x^2-8x=0$ বা, $x(5x-8)=0$

$\therefore x=0,x=\frac{8}{5}$

(i) ও (ii) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$={\int }_0^{\frac{8}{5}}(y_1-y_2)dx={\int }_0^{\frac{8}{5}}(\sqrt{8x-x^2}-2x)dx$

$={\int }_0^{\frac{8}{5}}(\sqrt{4^2-(x-4{)}^2}-2x)dx$

$={[\frac{(x-4)\sqrt{4^2-(x-4{)}^2}}{2}+\frac{4^2}{2}{\sin }^{-1}\frac{x-4}{4}-2\times \frac{x^2}{2}]}_0^{\frac{8}{5}}$

$=\frac{(\frac{8}{5}-4)\sqrt{16-\frac{144}{25}}}{2}+8{\sin }^{-1}\frac{\frac{8}{5}-4}{4}-\frac{64}{25}+8\times \frac{\pi }{2}$

$=\frac{\frac{-12}{5}\times \frac{16}{5}}{2}+8{\sin }^{-1}(-\frac{3}{5})-\frac{64}{25}+4\pi =4\pi -\frac{32}{5}-8{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $4\pi -\frac{32}{5}-8{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$ বর্গ একক।