সৃজনশীলঃ ‘f(x)=mx2+nx+l…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=m{x}^2+nx+l$

এবং $f\left(x\right)=0$

বা, ${\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+l=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $p$ ও $q$

$\therefore p+q=-\frac{n}{m}$ এব: $\mathrm{pq}=\frac{l}{m}$

বা, $mp+mq=-n$

$\therefore \mathrm{mp}+n=-\mathrm{mq}$

আবার, $\mathrm{mq}+n=-\mathrm{mp}$

এখন, $(mp+n{)}^{-2}+(mq+n{)}^{-2}$

$=(-\mathrm{mq}{)}^{-2}+(-\mathrm{mp}{)}^{-2}=\frac{1}{(-\mathrm{mq}{)}^2}+\frac{1}{(-\mathrm{mp}{)}^2}$

$=\frac{1}{m^2{q}^2}+\frac{1}{m^2{p}^2}=\frac{1}{m^2}(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2})=\frac{1}{m^2}\times \frac{p^2+q^2}{p^2{q}^2}$

$=\frac{1}{m^2}\times \frac{(p+q{)}^2-2\mathrm{pq}}{(\mathrm{pq}{)}^2}=\frac{1}{m^2}\times \frac{{(-\frac{n}{m})}^2-\frac{2l}{m}}{\frac{l^2}{m^2}}$

$=\frac{1}{m^2}\times \frac{\frac{n^2-2lm}{m^2}}{\frac{l^2}{m^2}}=\frac{1}{m^2}\times \frac{n^2-2lm}{l^2}=\frac{n^2-2lm}{l^2{m}^2}$

$\therefore (mp+n{)}^{-2}+(mq+n{)}^{-2}=\frac{n^2-2lm}{l^2{m}^2}\cdot ($ দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=m{x}^2+\mathrm{nx}+1$

$f\left(y\right)=m{y}^2+ny+l$

$f\left(\frac{1}{y}\right)=m{\left(\frac{1}{y}\right)}^2+n\left(\frac{1}{y}\right)+1$

আবার, $f\left(y\right)=0$

$\therefore {\mathrm{my}}^2+\mathrm{ny}+l=0$

এবং $f\left(\frac{1}{y}\right)=0$

বা, $m{\left(\frac{1}{y}\right)}^2+n\left(\frac{1}{y}\right)+l=0$

বা, $\frac{m}{y^2}+\frac{n}{y}+l=0$

বা, $m+\mathrm{ny}+y^{2}l=0$

$\therefore l{y}^2+\mathrm{ny}+m=0$

মনে করি, সাধারণ মূলটি $\alpha$ যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

$\therefore m{\alpha }^2+n\alpha +l=0$

এব: $l{\alpha }^2+n\alpha +m=0$

(i)নং ও (ii)নং সমীকরণ হতে বজ্রগুণন সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{\mathrm{nm}-\ln }=\frac{\alpha }{l^2-m^2}=\frac{1}{\mathrm{mn}-\ln }$

$\therefore \frac{{\alpha }^2}{\mathrm{nm}-\ln }=\frac{\alpha }{l^2-m^2}$

বা, $\frac{\alpha }{n(m-l)}=\frac{1}{-(m+l)(m-l)}$

বা, $\alpha =-\frac{n}{l+m}$

আবার, $\frac{{\alpha }^2}{mn-\ln }=\frac{1}{mn-\ln }$

বা, ${\alpha }^2=1$

বা, ${(-\frac{n}{l+m})}^2=1$

বা, $\frac{n^2}{(l+m{)}^2}=1$

বা, $(l+m{)}^2=n^2$

$\therefore l+m=\pm n$. (দেখানো হলো)