সৃজনশীলঃ ‘f(x)=px2+qx+r এবং g(x)=rx2+qx+p…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৯ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\dot{p}{x}^2+qx+r$$f\left(x\right)=0$ হলে, ${\mathrm{px}}^2+\mathrm{qx}+r=0$. ইহার মূলদ্বয় $\alpha ,\beta$$\therefore \alpha +\beta =\frac{-q}{p}$

এবং $\alpha \beta =\frac{r}{p}$

এখন, $r{x}^2+4qx+16p=0$.

বা, $\frac{r}{p}{x}^2+4\frac{q}{p}x+16=0$ [উভয়পক্ষকে p দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\alpha \beta x^2-4(\alpha +\beta )x+16=0$

বা, $\alpha \beta x^2-4\alpha x-4\beta x+16=0$

বা, $\alpha x(\beta x-4)-4(\beta x-4)=0$

বা, $(\beta x-4)(\alpha x-4)=0$

হয, $\beta x-4=0$

বা, $\beta x=4$

বা, $x=\frac{4}{\beta }$

অথবা, $\alpha x-4=0$

বা, $\alpha x=4$

বা, $x=\frac{4}{\alpha }$

নির্ণেয় মান : $x=\frac{4}{\alpha },\frac{4}{\beta }$.

$f\left(x\right)=p{x}^2+qx+r$

$f\left(x\right)=0$ হলে, এবং$p{x}^2+qx+r=0\text{ এবং }g\left(x\right)=r{x}^2+$

$qx+p$

$g\left(x\right)=0$ হলে, ${\mathrm{rx}}^2+\mathrm{qx}+p=0$

সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল $\alpha$ হলে

$p{\alpha }^2+q\alpha +r=0$

এবং $r{\alpha }^2+q\alpha +p=0$.

(i) ও (ii) হতে বজ্র্রগুণনের সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{pq-qr}=\frac{\alpha }{r^2-p^2}=\frac{1}{pq-qr}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{q(p-r)}=\frac{\alpha }{-(p+r)(p-r)}=\frac{1}{q(p-r)}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{q}=\frac{\alpha }{-(p+r)}=\frac{1}{q}$

বা, $\{-(p+r){\}}^2=q^2[\because \frac{{\alpha }^2}{a}=\frac{\dot{\alpha }}{b}=\frac{1}{c}$ হলে, $b^2=\mathrm{ac}]$

বা, $(p+r{)}^2=q^2$

$\therefore p+r=\pm q$. ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।