সৃজনশীলঃ ‘f(x)=px2+qx+r g(x)=x3−3×2+5x−8…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$f\left(x\right)=0$

বা, $p{x}^2+qx+1=0$

সমীকরণটির একটি মূল $\alpha$ ও অপরটি ${\alpha }^2$

$\therefore \alpha +{\alpha }^2=-\frac{\alpha }{p}\therefore {\alpha }^2=\frac{n}{p}$

(i) + (ii) থেকে পাই,

$\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3=-\frac{q}{p}+\frac{\pi }{p}$

বা, $\alpha (1+\alpha +{\alpha }^2)=\frac{\pi -N}{P}$

বা, $\alpha (1-\frac{\alpha }{p})=\frac{\pi -\alpha }{p}[\because \alpha +{\alpha }^2=-\frac{Q}{p}]$

বা, $\alpha \left(\frac{p-\alpha }{p}\right)=\frac{\pi -\alpha }{p}$

বা, $\alpha (p-\alpha )=n-\alpha$

বা, ${\alpha }^3(p-q{)}^3=(\pi -q{)}^3$ [ঘনকরে পাই]

বা, $\frac{\pi }{p}(p-\alpha {)}^3=(\pi -\alpha {)}^3$

বা, $\pi (p-q{)}^3=p(n-q{)}^3$ (প্রমাণিত)

$g\left(x\right)=0$

বা, $x^3-3x^2+5x-8=0$

সমীকরণের মূলত্রয়$a,b,c$

$a+b+c=3$

$ab+bc+ca=5$

$abc=8$

$\therefore \{a^{3}b=a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a+a{b}^3+b{c}^3+c^3$

= $a^{3}b+a{b}^3+b^{3}c+b{c}^3+c^{3}a+a{c}^3$

= $a^{3}b+a{b}^3+ab{c}^2+b^{3}c+b{c}^3+bc{a}^2+(3a+a^{3}c+ac{b}^2-ab{c}^2-bc{a}^2-ac{b}^2$

= $ab(a^2+b^2+c^2)+bc(b^2+c^2+a^2)+(a(c^2+a^2+b^2)-abc(c+a+b)$

= $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)-abc(a+b+c)$

= $\left\{(a+b^2+c^2-2(ab+bc+ca\left)\right\}\right(ab+bc+c)$

= $(3^2-2\cdot 5)\cdot 5+8\cdot 3$

= $-5-24$

$\therefore 5a^{3}b=-29$