সৃজনশীলঃ ‘F(x)=px5+qx4+rx3+rx2+qx+p একটি বহুপদী…’ ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে,
$P\left(x\right)=p{x}^3+q{x}^4+x^3+r{x}^2+qx+p$ যেখানে $p,q,r$ ধুবক এবং $p\ne 0(x-q),F\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হলে, $F\left(q\right)=0$ হবে।
অর্থাৎ $F\left(q\right)=0$
বা, $p{q}^5+q\cdot q^4+r{q}^3+r\cdot q^2+q\cdot q+p=0$

$\therefore p{q}^5+q^5+r{q}^3+r{q}^2+q^2+p=0$$.....\left(i\right)$

এখানে, $\mathrm{qx}-1=q(x-\frac{1}{q})$ 
বা, $(x-\frac{1}{q}),F\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হবে যদি $F\left(\frac{1}{q}\right)=0$ হয়।

$\begin{array}{cc}\therefore F\left(\frac{1}{q}\right)& =p{\left(\frac{1}{q}\right)}^5+q\cdot {\left(\frac{1}{q}\right)}^4+r{\left(\frac{1}{q}\right)}^3+r{\left(\frac{1}{q}\right)}^2+q\cdot \left(\frac{1}{q}\right)+p\\ & =\frac{p}{q^3}+\frac{q}{q^4}+\frac{r}{q^3}+r\cdot \frac{1}{q^2}+\frac{q}{q}+p\\ & =\frac{p+q^2+r{q}^2+r{q}^3+q^5+p{q}^5}{q^5}\end{array}$ 

$=\frac{p{q}^5+q^5+r{q}^3+r{q}^2+q^2+p}{q^5}\left[\right(i)$ নং হতে মান বসিয়ে $]$ 

$=\frac{0}{q^5}=0$ 

যেহেতু $F\left(\frac{1}{q}\right)=0$ সেহেতু $(qx-1),F\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক।
$\therefore (\mathrm{qx}-1),F\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=p{x}^5+q{x}^4+r{x}^3+r{x}^2+qx+p$

এখন, $p=q=r=1$ হলে, 

$\begin{array}{cc}F\left(x\right)=& x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ =& x^4(x+1)+x^2(x+1)+1(x+1)\\ =& (x+1)(x^4+x^2+1)\\ \therefore \frac{F\left(x\right)}{(x^2+1)(x^6-1)}& =\frac{(x+1)(x^4+x^2+1)}{(x^2+1)\{{\left(x^2\right)}^3-(1{)}^3\}}\\ & =\frac{(x+1)(x^4+x^2+1)}{(x^2+1)(x^2-1)(x^4+x^2+1)}\\ & =\frac{x+1}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}=\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\end{array}$ 

ধরি, $\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$...\left(1\right)$
(1)নং এর উভয়পক্ষকে $(x-1)(x^2+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$1\equiv A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)$$...\left(2\right)$

(2)নং এর উভয়পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1=A(1+1)+(Bx+C)\cdot 0$

বা, $1=2A+0$

$\therefore A=\frac{1}{2}$

(2)নং এর উভয়পক্ষ থেকে $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$0=A+B$

বা, $B=-A$

$\therefore B=-\frac{1}{2}$ 

এবং $0=C-B$

বা, $C=B$

$\therefore C=-\frac{1}{2}$

$A,B,C$ এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}{x^2+1}\\ & =\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x+1}{2(x^2+1)}\\ & \therefore \frac{F\left(x\right)}{(x^2+1)(x^6-1)}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{x+1}{2(x^2+1)};\end{array}$ 

ইহাই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।