সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin−1⁡p+sin−1⁡q+sin−1⁡rA=cos⁡x−cos⁡2xR=1−cos⁡x…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\pi$

$\Rightarrow {\sin }^{-1}p+{\sin }^{-1}q+{\sin }^{-1}r=\pi$

$\text{ N. },{\sin }^{-1}p=A,{\sin }^{-1}q=B,{\sin }^{-1}r=C$

$\therefore \text{ L.H.S }=p\sqrt{1-p^2}+q\sqrt{1-q^2}+r\sqrt{1-r^2}$

$=\sin A\sqrt{1-{\sin }^{2}A}+\sin B\sqrt{1-{\sin }^{2}B}+\sin C\sqrt{1-{\sin }^{2}C}$

$=\sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C$

$=\frac{1}{2}(2\sin A\cos A+2\sin B\cos B+2\sin C\cos C)$

$=\frac{1}{2}(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

$=\frac{1}{2}(2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2O}{2}+\sin 2C)$

$=\frac{1}{2}\{2\sin (A+B)\cos (A-B)+\sin 2C\}$

$=\frac{1}{2}\{2\sin (\pi -C)\cos (A-B)+\sin 2C\}$

$=\frac{1}{2}\{2\sin C\cos (A-B)+2\sin C\cos C\}$

$=\frac{1}{2}\cdot 2\sin C\{\cos (A-B)+\cos C\}$

$=\sin C[\cos (A-B)+\cos \{\pi -(A+B)\}$

$=\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B\left)\right]$

$=2\sin \sin C\cdot 2\sin A\sin B$

$=2\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C$

$=2pqr$

$=R\cdot H\cdot S$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $A=\cos x-\cos 2x$

$R=1-\cos x$

$\therefore \frac{A}{R}=1$ যখন $0<x<\pi$

$\Rightarrow \frac{\cos x-\cos 2x}{1-\cos x}=1$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\cdot \sin \frac{x}{2}=1-\cos x$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=2{\sin }^2\frac{x}{2}$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}-2{\sin }^2\frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow 2\sin \frac{x}{2}(\sin \frac{3x}{2}-\sin \frac{x}{2})=0$

$\therefore \sin \frac{x}{2}\equiv 0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}\equiv x\pi$

$\Rightarrow x=2n\pi ,x\in z$

$\therefore \cos x=0$

$\Rightarrow x=(2n+1)\frac{\pi }{2},n\in z$

অথবা, $\sin \frac{3x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow 2\cos x\sin \frac{x}{2}=0$

অথবা, $\sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}=n\pi$

$\therefore x=2n\pi ,n\in z$

$\therefore n=0$ হলে, $x=0,x=\frac{\pi }{2}$

$\therefore$ প্রদত্ত সীমার মধ্যে $x$ এর মান : $x=\frac{\pi }{2}$