সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin−1⁡x এবং g(x)=cos⁡x…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\sin }^{-1}x$ এবং $g\left(x\right)=\cos x$

এখন, $f\left\{\sqrt{2}g(\frac{\pi }{2}-\theta )\right\}+f\left\{\sqrt{g\left(2\theta \right)}\right\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\}+{\sin }^{-1}\left\{\sqrt{\cos \left(2\theta \right)}\right\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \}+{\sin }^{-1}\left\{\sqrt{\cos 2\theta }\right\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos 2\theta }+$

$\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-2{\sin }^2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{2{\sin }^2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{\cos 2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{2}\sin \theta +\cos 2\theta \}$

$={\sin }^{-1}\{2\sin \theta +\cos 2\theta \}$

$={\sin }^{-1}\{1-\cos 2\theta +\cos 2\theta \}={\sin }^{-1}1=\frac{\pi }{2}$

নির্ণেয় মান $\frac{\pi }{2}$

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=\cos x$

এখন, $\sqrt{3}g\left(x\right)+g(\frac{\pi }{2}-x)=1$

বা, $\sqrt{3}\cos x+\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)-x=1$

বা, $\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}$

বা, $\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{6}+\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

বা, $\cos (x-\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $x-\frac{\pi }{6}=2n\pi \pm \frac{\pi }{3},\pi \in Z$

বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=2n\pi +\frac{\pi }{2},2n\pi -\frac{\pi }{6}=(4n+1)\frac{\pi }{2},(12n-1)\frac{\pi }{6}$

$n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{2},\frac{-\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $x=\frac{5\pi }{2},\frac{11\pi }{6}$

$n=-1$ হলে, $x=\frac{-3\pi }{2},\frac{-13\pi }{6}$

$-2\pi <x<2\pi$ ব্যর্বধিতে নির্ণেয় সমাধান: $x=\frac{\pi }{2},\frac{-\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{-3\pi }{2}$