সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin−1⁡x,g(x)=cos⁡x.…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)={\sin }^{-1}x$ এবং $g\left(x\right)=\cos x$

এখন, $g(\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$

$\therefore f\left(\sqrt{2}g(\frac{\pi }{2}-\theta )\right)=f(\sqrt{2}\sin \theta )$

$={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )$

এবং, $f\left(\sqrt{g\left(2\theta \right)}\right)=f\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)$

$={\sin }^{-1}\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)$

বামপক্ষ $=f\left(\sqrt{2}g(\frac{\pi }{2}-\theta )\right)+f\left(\sqrt{g\left(2\theta \right)}\right)$

$={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-(\sqrt{\cos 2\theta }{)}^2}+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-(\sqrt{2}\sin \theta {)}^2}\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos 2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-2{\sin }^2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2{\sin }^2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{\cos 2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2}\sin \theta +\cos 2\theta \}$

$={\sin }^{-1}(2{\sin }^2\theta +\cos 2\theta )$

$={\sin }^{-1}(1-\cos 2\theta +\cos 2\theta )$

$={\sin }^{-1}\left(1\right)$

$={\sin }^{-1}\sin \frac{\pi }{2}$

$=\frac{\pi }{2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore f\left(\sqrt{2}g(\frac{\pi }{2}-\theta )\right)+f\left(\sqrt{g\left(2\theta \right)}\right)=\frac{\pi }{2}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=\cos x$

বা, $g^{\prime }\left(x\right)=-\sin x$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$g\left(x\right)+\sqrt{3}{g}^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{2}$

বা, $\cos x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi }{3}\cos x-\sin \frac{\pi }{3}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos (x+\frac{\pi }{3})=\cos \frac{\pi }{4}$

বা, $x+\frac{\pi }{3}=2n\pi \pm \frac{\pi }{4};n\in Z$

বা, $x=2n\pi \pm \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}$

বা, $x=2n\pi +\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3},2n\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}$

$=2n\pi -\frac{\pi }{12},2n\pi -\frac{7\pi }{12}$

এখन, $n=0$ হলে, $x=-\frac{\pi }{12},-\frac{7\pi }{12}$

$n=-1$ হলে, $x=-\frac{25\pi }{12},-\frac{31\pi }{12};$ যা গ্রহণযোগ্য নয়,

কেননা $-\pi <x<\pi$

$n=1$ হলে, $x=\frac{23\pi }{12},\frac{17\pi }{12}$; যা গ্রহণযোগ্য নয়,

কেননা $-\pi <x<\pi$

$\therefore -\pi <x<\pi$ ব্যবধিতে, $x=-\frac{7\pi }{12},-\frac{\pi }{12}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=-\frac{7\pi }{12},-\frac{\pi }{12}$.