সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin−1⁡x,g(x)=cot−1⁡x,h(x)=sin⁡x.…’ জালালাবাদ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\sin }^{-1}x$ এবং $g\left(x\right)={\cot }^{-1}x$

বামপক্ষ $=f\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)-\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{5}\right)+g\left(3\right)$

$={\sin }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\cot }^{-1}3$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(\frac{2}{3}\times \frac{9}{10})$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

 $={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}$

$={\cot }^{-1}\frac{1}{2}$

$=g\left(\frac{1}{2}\right)$

= ডানপক্ষ

$\therefore f\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)-\frac{1}{2}f\left(\frac{3}{5}\right)+g\left(3\right)=g\left(\frac{1}{2}\right)$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $h\left(x\right)=\sin x$
এবং $\left\{h\right(x){\}}^2+h(\frac{\pi }{2}-x)=\frac{5}{4}$
বা, ${\sin }^{2}x+\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\frac{5}{4}$
বা, ${\sin }^{2}x+\cos x=\frac{5}{4}$
বা, $4({\sin }^{2}x+\cos x)=5$
বা, $4{\sin }^{2}x+4\cos x-5=0$
বা, $4(1-{\cos }^{2}x)+4\cos x-5=0$
বা, $4-4{\cos }^{2}x+4\cos x-5=0$
বা, $-4{\cos }^{2}x+4\cos x-1=0$
বা, $4{\cos }^{2}x-4\cos x+1=0$
বা, $(2\cos x-1{)}^2=0$
বা, $2\cos x-1=0$
বা, $\cos x=\frac{1}{2}$
বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$

$\therefore x=2n\pi \pm \frac{\pi }{3};$ যখন n -এর মান শূন্য বা অন্য যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।
যখন $n=0$, তখন $x=\pm \frac{\pi }{3}$
যখন $n=1$, তখন $x=\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$
$\therefore 0\le x\le 2\pi$ ব্যবধিতে $x$ এর মানসমূহ : $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$
নির্ণেয় সমাধান : $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$.