সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin−1⁡x;g(x)=tan⁡x…’ ঢাকা সিটি কলেজ ২০২৪ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\sin }^{-1}x$

বামপক্ষ $=f(\sqrt{2}\sin \theta )+f\left(\sqrt{\cos 2\theta }\right)$

$={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )+{\sin }^{-1}\sqrt{\cos 2\theta }$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos 2\theta }+\sqrt{\cos 2\theta }\sqrt{1-2{\sin }^2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{\sqrt{2}\sin \theta \cdot \sqrt{2}\sin \theta +\sqrt{\cos 2\theta }\cdot \sqrt{\cos 2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}\{2{\sin }^2\theta +\cos 2\theta \}$

$={\sin }^{-1}\{2{\sin }^2\theta +1-2{\sin }^2\theta \}$

$={\sin }^{-1}1$

$=\frac{\pi }{2}$

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\tan x$

এখন, $g\left(\theta \right)=2\sec \theta -g(\frac{\pi }{2}+\theta )$

বা, $\tan \theta =2\sec \theta -\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )$

বা, $\tan \theta =2\sec \theta -\mathrm{tot}\theta .$

বা, $\cot \theta +\tan \theta =2\sec \theta$

বা, $\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{2}{\cos \theta }$

বা, $\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cdot \cos \theta }=\frac{2}{\cos \theta }$

বা, $\frac{1}{\sin \theta }=2$

বা, $\sin \theta =\frac{1}{2}$

বা, $\sin \theta =\sin \frac{\pi }{6}$

$\therefore \theta =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$

$n=02\pi ,\theta =\frac{\pi }{6}$

$n=12(\pi ,\theta =\frac{5\pi }{6}$

$n=22(\pi ,\theta =\frac{13\pi }{6}$

$n=-12(\pi ,\theta =-\frac{7\pi }{6}$

$n=-22\pi ,\theta =-\frac{11\pi }{6}$

অর্থাৎ, নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে : $\theta =-\frac{11\pi }{6},-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$