সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡3x…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin 3x$

$\begin{array}{cc}\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xf\left(x\right)dx& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x\sin 3xdx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\sin }^{2}x\sin 3xdx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2x)\sin 3xdx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3xdx-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\sin 3x\cos 2xdx\end{array}$

$\begin{array}{cc}& =-\frac{1}{6}[\cos 3x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\sin 5x+\sin x)dx\\ & =-\frac{1}{6}[\cos \frac{3\pi }{2}-\cos 0]-\frac{1}{4}{[\frac{-\cos 5x}{5}-\cos x]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =-\frac{1}{6}[\cos \frac{3\pi }{2}-\cos 0]+\frac{1}{4}{[\frac{\cos 5x}{5}+\cos x]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =-\frac{1}{6}[0-1]+\frac{1}{4}[\frac{\cos \frac{5\pi }{2}}{5}+\cos \frac{\pi }{2}-\frac{\cos 0}{5}-\cos 0]\\ & =\frac{1}{6}+\frac{1}{4}(-\frac{1}{5}-1)\\ & =\frac{1}{6}-\frac{6}{20}=\frac{10-18}{60}=\frac{-8}{60}=\frac{-2}{15}\end{array}$

নির্ণেয় মান : $\frac{-2}{15}$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin 3x$

$y=f\left(x\right)$

বা, $y=\sin 3x$

$x$-অক্ষে $y=0$

এখন, $y=0$ হলে, $\sin 3x=0$

বা, $3x={\sin }^{-1}0$

বা, $x=\frac{1}{3}{\sin }^{-1}0$

$\therefore x=0,\frac{\pi }{3}$

অর্থাৎ, 0 থেকে $\frac{\pi }{3}$ পর্যন্ত $y=\sin 3x$ একটি চাপ তৈরি করে।

$x$-অক্ষ এবং $y=\sin 3x$ দ্বারা আবদ্ধ একটি চাপের ক্ষেত্রফল

$={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\sin 3xdx={[-\frac{\cos 3x}{3}]}_0^{\frac{\pi }{3}}$

$=-\frac{\cos \pi }{3}+\frac{\cos 0}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{2}{3}$ বর্গ একক।