সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore \text{ L.H. }S={\sin }^{-1}\left(\sqrt{2}f\right(\theta \left)\right)+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{f(\frac{\pi }{2}-2\theta )}\right)$

$={\sin }^{-1}(\sqrt{2}\sin \theta )+{\sin }^{-1}(\sqrt{2}\cos \theta )$

$={\sin }^{-1}\left\{\right(\sqrt{2}\sin \theta \sqrt{1-\cos \theta })+\sqrt{\cos 2\theta }\cdot \sqrt{\cos 2\theta }\}$

$={\sin }^{-1}(2{\sin }^2\theta +\cos \theta )$

$={\sin }^{-1}\left(1\right)$

$=\frac{\pi }{2}$

= R.H.S

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-\theta )+f\left(\theta \right)=f(\frac{\pi }{2}-2\theta )+f\left(2\theta \right)$

$\Rightarrow \cos \theta +\sin \theta =\cos 2\theta +\sin 2\theta$

$\Rightarrow \cos \theta -\cos 2\theta =\sin 2\theta -\sin \theta$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{3\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{\theta }{2}(\sin \frac{3\theta }{2}-\cos \frac{3\theta }{2})=0$

এখন

$\therefore \sin \frac{\theta }{2}=0$

$\Rightarrow \frac{\theta }{2}=n\pi$

$\Rightarrow \theta =2n\pi ,n\in Z$

অথবা,

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Sin}\frac{3\theta }{2}-\cos \frac{3\theta }{2}=0\\ & \Rightarrow \sin \frac{3\theta }{2}=\cos \frac{3\theta }{2}\\ & \Rightarrow \tan \frac{3\theta }{2}=1\\ & \Rightarrow \frac{3\theta }{2}=(4n+1)\frac{\pi }{4}\\ & \Rightarrow \theta =(4n+1)\frac{\pi }{6},n\in Z\end{array}$

নির্ণেয় সমাধানঃ $\theta =2n\pi ,(4n+1)\frac{\pi }{6},n\in Z$