সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x এবং g(x)=4×3+3×2−6x+30…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে,

$\begin{array}{cc}\frac{f(\frac{\pi }{2}-2x)}{f\left(2x\right)}& =\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-2x)}{\sin \left(2x\right)}\\ & =\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\end{array}$

মূল নিয়মের সাপেক্ষে আমরা জানি,

$\begin{array}{cc}& \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos 2(x+h)}{\sin 2(x+h)}-\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\times \frac{1}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (2x+2h)\sin 2x-\cos 2x\sin (2x+2h)}{\sin (2x+2h)\sin \left(2x\right)\times h}[\therefore \sin A\cos B-\cos A\sin B=\sin (A-B\left)\right]\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (2x-2x-2h)}{h\times 2x(+2h)\sin \left(2x\right)}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (-2h)}{h}\times \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\sin (2x+2h)\cdot \sin 2x}\\ & =-2\underset{2h\to 0}{lim}\frac{\sin \left(2h\right)}{2h}\times \frac{1}{{\sin }^{2}2x}\\ & =-2\times 1\times {\mathrm{cosec}}^{2}2x\\ & =-2{\mathrm{cosec}}^{2}2x\end{array}$

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=4x^3+3x^2-6x+30$

চরম মান থাকবে, যেখানে $g^{\prime }\left(x\right)=0$ হয়,

বিন্দুতেচরমবিন্দুরয়েছে$\begin{array}{cc}& g^{\prime }\left(x\right)=0\\ & \Rightarrow 12x^2+6x-6=0\\ & \Rightarrow 2x^2+x-1=0\\ & x=1/2,-1\\ & \therefore x=\frac{1}{2},-1\text{ বিন্দুতে চরম বিন্দু রয়েছে }\end{array}$

এখন, $g^{\prime \prime }\left(x\right)=24x+6$

$x=1/2$ বসিয়ে, $g^{\prime \prime }\left(1/2\right)=24\times \frac{1}{2}+6=18>0$

$\therefore x=\frac{1}{2}G$ লঘু মান বিদ্যমান $x=-1$ বসিয়ে, $g^{\prime \prime }\left(\frac{1}{2}\right)=24\times -1+6=-18<0$

$\therefore x=-1$ লঘু মান বিদ্যমান

$\therefore x=-1$ বিন্দুতে গুরু মান বিদ্যামান

লঘুমান $f\left(\frac{1}{2}\right)=4\times (1/2{)}^3+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6\times \frac{1}{2}+30$

$=\frac{113}{4}\text{ Ans }$

গুরুমান $f(-1)=4(-1{)}^3+3(-1{)}^2-6\times (-1)+30$

$=35\left(Ans\right)$