সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x এবং g(x)=cos⁡x.…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sin x$

$f\left(2x\right)=\sin 2x$

$f\left(3x\right)=\sin 3x$

$g\left(x\right)=\cos x$

$g\left(2x\right)=\cos 2x$

প্রদত্ত সমীকরণ, $f\left(x\right)+f\left(2x\right)+f\left(3x\right)=1+g\left(x\right)+g\left(2x\right)$

বা, $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=1+\cos x+\cos 2x$

বা, $\sin 3x+\sin x+\sin 2x=1+\cos 2x+\cos x$

বা, $2\cdot \sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}+\sin 2x=2{\cos }^{2}x+\cos x$

বা, $2\sin 2x\cos x+\sin 2x=\cos x(2\cos x+1)$

বা, $\sin 2x(2\cos x+1)=\cos x(2\cos x+1)$

বা, $\sin 2x(2\cos x+1)-\cos x(2\cos x+1)=0$

বা, $(2\cos x+1)(\sin 2x-\cos x)=0$

হয় $2\cos x+1=0$

বা, $\cos x=-\frac{1}{2}$

বা, $\cos x=-\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $\cos x=\cos (\pi -\frac{\pi }{3})$

বা, $\cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\therefore x=2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$

যেখানে n পূর্ণসংখ্যা

অথবা, $\sin 2x-\cos x=0$

বা, $2\sin x\cos x-\cos x=0$

বা, $\cos x(2\sin x-1)=0$

আবার, হয় $\cos x=0$

বা, $\cos x=\mathrm{co}\frac{\pi }{2}$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$ যেখানে n পূর্ণসংখ্যা

অথবা, $2\sin x-1=0$

বা, $\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$

$\therefore x=n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$

যেখানে n পূর্ণসংখ্যা

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{2},2n\pi \pm \frac{2\pi }{3},n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$; যেখানে $n$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$ এবং $g\left(x\right)=\cos x$ প্রদত্ত সমীকরণ, $\left(f\right(x){)}^2-3(g\left(x\right){)}^2=0$

বা, ${\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x=0$

বা, ${\sin }^{2}x-3+3{\sin }^{2}x=0$

বা, $4{\sin }^{2}x=3$

বা, ${\sin }^{2}x=\frac{3}{4}$

বা, $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}=\pm \sin \frac{\pi }{3}$

$\therefore x=n\pi \pm (-1{)}^n\frac{\pi }{3}$, যেখানে n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

এখন, $n=0$ হলে,

$x=-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}$

$n=-1$ হলে, $x=(-\pi -\frac{\pi }{3}),(-\pi +\frac{\pi }{3})=-\frac{4\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$

$n=1$ হলে, $x=(\pi -\frac{\pi }{3}),(\pi +\frac{\pi }{3})=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$

$n=-$ হলে, $x=(-2\pi -\frac{\pi }{3}),(-2\pi +\frac{\pi }{3})=-\frac{7\pi }{3},-\frac{5\pi }{3}$

$-\pi <x<\pi$ ব্যবধিতে, $x=-\frac{\pi }{3},-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$