সৃজনশীলঃ ‘F(x)=sin⁡x একটি ফাংশনএবং…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=\sin x$

$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left\{F\right(x){\}}^5{\left(\sqrt{1-\left\{F\right(x{)}^2}\right)}^{4}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{5}x{\left(\sqrt{1-{\sin }^{2}x}\right)}^{4}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{5}x{\left(\sqrt{{\cos }^{2}x}\right)}^{4}dx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{5}x{\cos }^{4}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x\cdot \sin xdx$

$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{(1-{\cos }^{2}x)}^2{\cos }^{4}x\sin xdx$

ধরি, $\cos x=z$

$\therefore -\sin xdx=dz$

$=-{\int }_1^0{(1-z^2)}^2{z}^{4}dz$

$={\int }_0^1{(1-z^2)}^2{z}^{4}dz$

$={\int }_0^1(1-2z^2+z^4)z^{4}dz={\int }_0^1(z^4-2z^6+z^8)dz$

$={\left[\frac{z^5}{5}\right]}_0^1-2{\left[\frac{z^7}{7}\right]}_0^1+{\left[\frac{z^9}{9}\right]}_0^1$

$=\frac{1}{5}-2\times \frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{8}{315}$

নির্ণেয় মান $\frac{8}{315}$.

দেওয়া আছে, $y^2=x$ .......... (i)

এবং $y-x+2=0$ .......... (ii)

বা, $x=y+2$

$x$ এর মান (i) এ বসাই, $y^2=y+2$

বা, $y^2-y-2=0$

বা, $y^2-2y+y-2=0$

বা, $y(y-2)+1(y-2)=0$

বা, $(y-2)(y+1)=0$

$\therefore y=-1,2$

$\therefore y$ অক্ষের সমান্তরাল ভাবে আবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রে সীমা $y=-1$ থেকে $y=2$.

$\therefore$ (i) নং সমীকরণ ও (ii) নং সমীকরণ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $={\int }_{-1}^2(x_2-x_1)dy$

$={\int }_{-1}^2(y+2-y^2)dy={[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}]}_{-1}^2$

$=[(\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3})-(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3})]$

$=2+4-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3}$

$=\frac{12+24-16-3+12-2}{6}$

$=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $=\frac{9}{2}$ বর্গ একক।