সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x,g(x)=cos⁡x,sin⁡θ=45…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

বামপক্ষ $={\sec }^{-1}\sqrt{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-{\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}$

$={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$ [ চিত্র ১ ও ২ হতে]

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{1}{2}\\ & ={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& ={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{1}{1+\frac{1}{4}}\\ & ={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{1}{\frac{5}{4}}\\ & ={\tan }^{-1}2+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}\end{array}$

$={\tan }^{-1}2=$ ডানপক্ষ

$\therefore {\sec }^{-1}\sqrt{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{4}{5}-{\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}={\tan }^{-1}2$(প্রমাণিত)

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\sin x\sin \frac{\pi }{6}+\cos x\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
বা,$\cos (x-\frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{6}\therefore x-\frac{\pi }{6}=2n\pi \pm \frac{\pi }{6}$

$\therefore x=2n\pi +\frac{\pi }{6}\pm \frac{\pi }{6}$

$\therefore x=2n\pi ,(6n+1)\frac{\pi }{3}$; যখন $x$ এর মান শূন্য অথবা অন্য যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা।