ㅤ

A. Nayan

13 Oct 2026 (2 weeks ago)

Dhaka, Narayanganj

সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x,g(x)=e−2x,h(x)=ln⁡(1+x).…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

📘 ক্লাস ১১শ–১২শ🎓 গ্রুপ বিজ্ঞান📚 বই উচ্চতর গণিত📖 বিষয় ১ম পত্র📂 বিভাগ উচ্চতর গণিত🧩 অধ্যায় ৯ম অধ্যায় — অন্তরীকরণ🔢 সৃজনশীল নং ৬৪🏢 প্রতিষ্ঠান ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ📅 সাল ২০২৪⭐ গুরুত্ব ★★★★★

🔊 স্মার্ট বাংলা Text Readerসম্পূর্ণ বাক্য highlight · প্রশ্নের পর উত্তর · সরাসরি seek

০%

ভয়েস লোড হচ্ছে।

$f (x) = \sin x, g (x) = e^{- 2 x}, h (x) = \ln (1 + x)$ .

✦ PREMIUM STUDY EXPERIENCE

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

১ম পত্র · অধ্যায় ৯

✦উত্তর ও বিশ্লেষণANSWER

দেওয়া আছে, $f (x) = \sin x$

$∴ f (a x) = \sin a x$

ধরি, $g (x) = \sin a x$

$∴ g (x + h) = \sin {a (x + h)} = \sin (a x + a h)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে,

$\frac{d}{d x} g (x) = lim_{h \to 0} \frac{g (x + h) - g (x)}{h}$

$\frac{d}{d x} (\sin a x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (a x + a h) - \sin a x}{h}$

$= lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \frac{a x + a h + a x}{2} \sin \frac{a x + a h - a x}{2}}{h}$

$= lim_{h \to 0} \frac{2 \cos (a x + \frac{h}{2}) \sin \frac{a h}{2}}{h}$

$lim_{h \to 0} \cos (a x + \frac{h}{2}) \times \frac{h}{2 \to 0} \frac{\frac{a h}{2}}{2}$

$[∵ h \to 0$ হলে, $\frac{h}{2} \to 0]$

$= \cos (a x + 0) \times 1 \times a$

$= a \cos a x$

নির্ণেয় অন্তরজ : $a \cos ax$ .

এই প্রশ্ন ও উত্তরের মধ্যে যেকোনো জায়গায় যাও

০%

প্রথমে প্রশ্ন, তারপর উত্তর শুনতে চাপ দিন।

✦উত্তর ও বিশ্লেষণANSWER

দেওয়া আছে,

$f (x) = \sin x$

প্রমাণ করতে হবে যে, $lim_{x \to 0} \frac{ℓ (x)}{x} = 1$

বা, $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$O$ কেন্দ্রিক বৃত্তে $∠ A O B = x$ রেডিয়ান. $B C ⊥ O A$ এবং $A D ⊥ O A ∣ O B$ বর্ধিতাংশAD কে D বিন্দুতে ছেদ করে।

চিত্রে, $△ OBC <$ বৃত্তকলা $AOB < △ O A D$

বা, $\frac{1}{2} OC . BC < \frac{1}{2} r^{2} x < \frac{1}{2} OA . AD)$

বা, $O C, B C < r^{2} x < r, A D$ ...... (1)

এ $△ O B C - এ, \cos x = \frac{O C}{r}$

বা, $O C = r \cos x^{\circ}$

এবং $\sin x = \frac{B C}{r}$

বা, $B C = r \sin x$

এ $△ O A D - এ \tan x = \frac{A D}{r}$

বা, $A D = r \tan x$

(1) নং হতে পাই,

$r \cos x \cdot r \sin x < r^{2} x < r \cdot r \tan x$

বা, $\sin x \cdot \cos x < x < \frac{\sin x}{\cos x}$

বা, $\cos x < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

বা, $\frac{1}{\cos x} > \frac{\sin x}{x} > \cos x$

বা. $\cos x < \frac{\sin x}{x} < \frac{1}{\cos x}$

বা. $lim_{x \to 0} \cos x < lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} < lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$

বা, $1 < lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} < 1$

$∴ lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . (প্রমাণিত)

এই প্রশ্ন ও উত্তরের মধ্যে যেকোনো জায়গায় যাও

০%

প্রথমে প্রশ্ন, তারপর উত্তর শুনতে চাপ দিন।

✦উত্তর ও বিশ্লেষণANSWER

দেওয়া আছে, $g (x) = e^{- 2 x}$ এবং $h (x) = \ln (1 + x)$

$∴ g (y) = e^{- 2 y}$ এবং $h (y) = \ln (1 + y)$

$∴ lim_{y \to 0} \frac{1 - g (y)}{h (y)} [0 < y < 1]$

$= lim_{y \to 0} \frac{1 - e^{- 2 y}}{\ln (1 + y)}$

$= lim_{y \to 0} \frac{1 - {1 - \frac{2 y}{1!} + \frac{(2 y)^{2}}{2!} - \frac{(2 y)^{3}}{3!} + \dots \dots}}{y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{4}}{4} + \dots \dots .}$

$= lim_{y \to 0} \frac{2 y - \frac{(2 y)^{2}}{2!} + \frac{(2 y)^{3}}{3!} - \dots \dots \dots}{y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{4}}{4} + \dots \dots}$

$= lim_{y \to 0} \frac{y (2 - \frac{4 y}{2!} + \frac{8 y^{2}}{3!} - \dots \dots)}{y (1 - \frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{3} - \frac{y^{3}}{4} + \dots \dots)}$

$= lim_{y \to 0} \frac{2 - \frac{4 y}{2!} + \frac{8 y^{2}}{3!} - \dots \dots}{1 - \frac{y}{2} + \frac{y^{2}}{3} - \frac{y^{3}}{4} + \dots \dots .} = \frac{2 - 0 + 0 - 0 + \dots \dots}{1 - 0 + 0 - 0 + \dots \dots .} = \frac{2}{1} = 2$

$lim_{y \to 0} \frac{1 - g (y)}{h (y)} = 2$ .

নির্ণেয় মান : 2.

এই প্রশ্ন ও উত্তরের মধ্যে যেকোনো জায়গায় যাও

০%

প্রথমে প্রশ্ন, তারপর উত্তর শুনতে চাপ দিন।

0 Views

No Comments

Share

No comments to “সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x,g(x)=e−2x,h(x)=ln⁡(1+x).…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)”

A. Nayan

13 Oct 2026 (2 weeks ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর