সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x,M=cos−1⁡15−12sin−1⁡35+cot−1⁡3…’ ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$M={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+{\cot }^{-1}3$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times 2{\tan }^{-1}\frac{1}{3}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{2\times \frac{1}{3}}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(\frac{2}{3}\times \frac{9}{10})$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\cos }^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{2}{1}\right)$ [চিত্র হতে] 

$={\tan }^{-1}2$

বামপক্ষ $=\tan M=\tan {\tan }^{-1}2=2=$ ডানপক্ষ 

$\therefore \tan M=2$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

এখানে, $f(\pi \cos \theta )=\cos \left\{\pi f\right(\theta \left)\right\}$

বা, $\sin (\pi \cos \theta )=\cos (\pi \sin \theta )$ 

বা, $\sin (\pi \cos \theta )=\sin (\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \theta )$

বা, $\pi \cos \theta =\frac{\pi }{2}\pm \pi \sin \theta$

বা, $\cos \theta =\frac{1}{2}\pm \sin \theta$

বা, $\cos \theta \pm \sin \theta =\frac{1}{2}$

বা, $(\cos \theta \pm \sin \theta {)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ [বর্গ করে]

বা, ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \pm 2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{4}$

বা, $1\pm \sin 2\theta =\frac{1}{4}[\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ बनः $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta ]$

বা, $\pm \sin 2\theta =\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$

বা, $\sin 2\theta =\pm \frac{3}{4}$

বা, $2\theta ={\sin }^{-1}(\pm \frac{3}{4})$

বা, $\theta =\pm \frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{3}{4}$

$\therefore \theta =\pm \frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{\sqrt{7}}{4}$. (দেখানো হলো)