সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x.…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$f\left\{f\right(x\left)\right\}=f(\sin x)=\sin (\sin x)$

আবার, $y=f\left\{f\right(x\left)\right\}$

বা, $y=\sin (\sin x)$

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sin (\sin x)$

বা, $\frac{dy}{dx}=\cos (\sin x)\times \frac{d}{dx}\sin x=\cos (\sin x)\times \cos x$

বা, $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}[\cos x\times \cos (\sin x\left)\right]$

[পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

বা, $\frac{d^{2}y}{{d{x}^2}^2}=\cos x\frac{d}{dx}\cos (\sin x)+\cos (\sin x)\frac{d}{dx}\cos x$

বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\cos x\{-\sin (\sin x)\cos x\}+\cos (\sin x)(-\sin x)$

বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-{\cos }^{2}x\sin (\sin x)-\frac{\sin x}{\cos x}\cos (\sin x)\cdot \cos x$

বা, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-y{\cos }^{2}x-\tan x\frac{dy}{dx}=-y(1-{\sin }^{2}x)-\frac{dy}{dx}\tan x$

বা, $\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=-y[1-\{f\left(x\right){\}}^2]-\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\tan x$

$\therefore \frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\tan x+[1-\{f\left(x\right){\}}^2]y=0$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$f(\frac{\pi }{2}-x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$

ধরি, $g\left(x\right)=3+2f\left(x\right)+3{\left\{f(\frac{\pi }{2}-x)\right\}}^2;0\le x\le \frac{\pi }{2}$

$=3+2\sin x+3{\cos }^{2}x;0\le x\le \frac{\pi }{2}$

$\therefore g^{\prime }\left(x\right)=0+2\cos x+3\cdot 2\cos x(-\sin x)$

$=2\cos x-6\sin x\cos x$

$\therefore g^{\prime \prime }\left(x\right)=-2\sin x-6\{\sin x(-\sin x)+\cos x\times \cos x\}$

$=-2\sin x-6({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$

চরমমানের জন্য, $g^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $2\cos x-6\sin x\cos x=0$

বা, $\cos x-3\sin x\cos x=0$

বা, $\cos x(1-3\sin x)=0$

$\therefore \cos x=0$.

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{2}$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$

অথবা, $1-3\sin x=0$

বা, $1=3\sin x$

বা, $\sin x=\frac{1}{3}$

$\therefore x={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

এখানে, $\cos x=0$

বা, ${\cos }^{2}x=0$

বা, $1-{\sin }^{2}x=0$

বা, ${\sin }^{2}x=1$

বা, $\sin x=1[\because 0\le x\le \frac{\pi }{2};$, তাই ঋণাত্মক বর্জন করে]

এখন, $\cos x=0$ এবং $\sin x=1$ হলে,

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=-2\times 1-6(0-1)$

$=-2+6=4>0$

$\therefore x=\frac{\pi }{2}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ ফাংশনের লঘুমান বিদ্যমান।

অতএব, ফাংশনটির লঘুমান $=g\left(\frac{\pi }{2}\right)$

$=3+2\sin \frac{\pi }{2}+3{\cos }^2\frac{\pi }{2}$

$=3+2\times 1+3+0=3+2=5$

আবার, $x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ বা, $\sin x=\frac{1}{3}$ হলে,

$g^{\prime \prime }\left(x\right)=-2\sin x-6({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$

$=-2\sin x-6(1-2{\sin }^{2}x)$

$=-2\times \frac{1}{3}-6\{1-2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\}$

$=-\frac{2}{3}-6(1-2\times \frac{1}{9})$

$=-\frac{2}{3}-6+\frac{4}{3}=\frac{-2-18+4}{3}=-\frac{16}{3}<0$

$\therefore x={\sin }^{-1}\frac{1}{3}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

অতএব ফাংশনটির গুরুমান

$=g({\sin }^{-1}\frac{1}{3})$

$=3+2\sin {\sin }^{-1}\frac{1}{3}+3\{1-{(\sin {\sin }^{-1}\frac{1}{3})}^2\}$

$=3+2\times \frac{1}{3}+3\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\}$

$=3+\frac{2}{3}+3(1-\frac{1}{9})=3+\frac{2}{3}+3\times \frac{8}{9}$

$=3+\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{9+2+8}{3}=\frac{19}{3}=6\frac{1}{3}$

নির্ণেয় গুরুমান $6\frac{1}{3}$ এবং লঘুমান 5 .