সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡x3g(x)=cos⁡x…’ সিলেট বোর্ড ২০২১ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sin x3g\left(x\right)=\cos x$

প্রশ্নমতে,

$f\left(x\right)+g\left(x\right)=f\left(2x\right)+g\left(2x\right)$

$\Rightarrow \cos x+\sin x=\cos 2x+\sin 2x$

$\Rightarrow \cos x-\cos 2x=\sin 2x-\sin x$

$\Rightarrow 2\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=2\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}$

$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}(\sin \frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2})=0$

এখন,

$\therefore \sin \frac{x}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}=n\pi$

$\Rightarrow x=2n\pi ,n\in Z$

অথবা,

$\mathrm{Sin}\frac{3x}{2}-\cos \frac{3x}{2}=0$

$\Rightarrow \sin \frac{3x}{2}=\cos \frac{3x}{2}$

$\Rightarrow \tan \frac{3x}{2}=1$

$\Rightarrow \frac{3x}{2}=(4n+1)\frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow x=(4n+1)\frac{\pi }{6},n\in Z$

নির্ণেয় সমাধানঃ $x=2n\pi ,(4n+1)\frac{\pi }{6},n\in Z$

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\cos x$

$\therefore 4\cos x\cos 2x\cos 3x=1,0<x<\pi$

প্রশ্নমতে,

$\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 3x=1$

$2\cos 2x\cdot 2\cos 3x\cdot \cos x=1$

$2\cos 2\cdot (\cos 4x+\cos 2x)=1$

$2\cos 4x\cdot \cos 2x+{\cos }^{2}x-1=0$

$2\cos 4x\cdot \cos 2x+\cos 4x=0$

$\cos 4x(2\cos 2x+1)=0$

এখন,

$\cos 4x=0$

$\Rightarrow 4x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow x=(2n+1)\frac{\pi }{8},n\in Z$

অথবা,

$(2\cos 2x+1)=0$

$\Rightarrow \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\Rightarrow 2x=2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$

$⟹x=n\pi \pm \frac{\pi }{3},n\in Z$

$\therefore x=n\pi +\frac{\pi }{3},x=n\pi -\frac{\pi }{3}$

$\therefore n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{8},x=\frac{\pi }{3},x=-\frac{\pi }{3}$

$\therefore n=1$হলে, $x=\frac{3\pi }{8},x=\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$,

$x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

$\therefore n=2$হলে, $x=\frac{5\pi }{8},x=2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$,

$x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$

$\therefore n=3$হলে, $x=\frac{7\pi }{8},x=3\pi +\frac{\pi }{3}$,

$x=3\pi -\frac{\pi }{3}$

নির্ণেয় মানসমূহঃ $\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8},\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$