সৃজনশীলঃ ‘f(x)=sin⁡xg(x,y)=25×2+36y2−900…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $\mathrm{Sin}x=z$ mm?

$\Rightarrow \cos xdx=dz$

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sin x$

$\therefore f(\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$

এখন, ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{9-{\sin }^{2}x}dx$

$={\int }_0^1\frac{dz}{3^2-z^2}$

$={[\frac{1}{2\cdot 3}\ln \left|\frac{3+z}{3-z}\right|]}_0^1$

$=\frac{1}{6}\ln \left|\frac{4}{2}\right|-\frac{1}{6}\ln \left|\frac{3}{3}\right|$

$=\frac{1}{6}\ln 2-\frac{1}{6}\ln 1$

$=\frac{1}{6}\ln 2$

দেওয়া আছে, $g(x,y)=25x^2+36y^2-900$

আবার, $g(x,y)=0$

বা, $25x^2+36y^2-900=0$

বা, $25x^2+36y^2=900\dots \dots \dots \left(1\right)$

বা, $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$

বা, $\frac{x^2}{6^2}+\frac{y^2}{5^2}=1$

এবং $x=3\dots \dots \dots \left(2\right)$

$\left(1\right)$ নং হতে পাই,

$36y^2=900-25x^2$

বা, $36y^2=25(36-x^2)$

বা, $y^2=\frac{25}{36}(36-x^2)$

$\therefore y=\pm \frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}$

প্রথম চতুর্ভাগে $y$ ধনাত্মক অর্থাৎ $y=\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}$

চিত্র হতে $B(3,0)$ এবং $A(6,0)$

$\left(1\right)$ নং ও $\left(2\right)$ নং দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল
$=2\times ABC$ অংশের ক্ষেত্রফল

$=2{\int }_3^6\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}dx=\frac{5}{3}{\int }_3^6\sqrt{36-x^2}dx$

$=\frac{5}{3}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{36-36{\sin }^2\theta }\cdot 6\cos \theta d\theta =\frac{5}{3}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{36(1-{\sin }^2\theta )}\cdot 6\cos \theta d\theta$

ধরি, $x=6\sin \theta$

বা, $dx=6\cos \theta d\theta$

$=\frac{5}{3}\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{36{\cos }^2\theta }\cdot 6\cos \theta d\theta$

$=\frac{5}{3}\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}6\cos \theta \cdot 6\cos \theta d\theta$

$=\frac{5}{3}\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}36{\cos }^2\theta d\theta =60\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\theta d\theta =30\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2{\cos }^2\theta d\theta$

$=30\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(1+\cos 2\theta )d\theta =30\left\{\right[\theta {]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}+{\left[\frac{\sin 2\theta }{2}\right]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\}$

$=30\{(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}(\sin \pi -\sin \frac{\pi }{3})\}$

$=30\{\frac{\pi }{3}+\frac{1}{2}(0-\frac{\sqrt{3}}{2})\}=30(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})=10\pi -\frac{15\sqrt{3}}{2}$ বর্গ একক

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল $(10\pi -\frac{15\sqrt{3}}{2})$ বর্গ একক।