সৃজনশীলঃ ‘f(x)=tan−1⁡x এবং 2g(x)=2sin⁡x+sin⁡2x.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\tan }^{-1}x$

এবং $y=\tan \left\{mf\right(x\left)\right\}$

বা, $y=\tan \left\{{\mathrm{mtan}}^{-1}x\right\}$;

বা, ${\tan }^{-1}y={\tan }^{-1}x$

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{dx}({\tan }^{-1}y)=\frac{d}{dx}\left({\mathrm{mtan}}^{-}x\right)$

বা, $\frac{1}{1+y^2}\cdot y_i=m\frac{1}{1+x^2}$

বা, $(1+x^2)y_1=m(1+y^2)$

আবার, x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{d}{\mathrm{dx}}\left\{(1+x^2)y_1\right\};=\frac{d}{\mathrm{dx}}\left\{m(1+y^2)\right\}$

বা, $(1+x^2)\frac{d}{dx}\left(y_1\right)+y_1\frac{d}{dx}(1+x^2)=m(0+2y\cdot y_1)$

বা, $(1+x^2)y_2+y_1,2x=2$ myy ${}_1$

$\therefore (1+x^2)y_2+2{\mathrm{xy}}_1=2{\mathrm{myy}}_1$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $2g\left(x\right)=2\sin x+\sin 2x$

বা, $2g\left(x\right)=2\sin x+2\sin x\cos x$

বা, $g\left(x\right)=\sin x+\sin x\cos x$

বা, $g\left(x\right)=\sin x(1+\cos x)$

বা, $g^{\prime }\left(x\right)=\sin x\frac{d}{dx}(1+\cos x)+(1+\cos x)\frac{d}{dx}(\sin x)$

বা, $g^{\prime }\left(x\right)=-{\sin }^{2}x+\cos x(1+\cos x)$

বা, $g^{\prime }\left(x\right)=-{\sin }^{2}x+\cos x+{\cos }^{2}x$

বা, $g^{\prime }\left(x\right)=\cos x+\cos 2x$

বা, $g^{″}\left(x\right)=-\sin x-2\sin 2x$

এখন, চরমমানের জন্য, $g^{\prime }\left(x\right)=0$

বা, $\cos x+\cos 2x=0$

বা, $\cos x+{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=0$

বা, $\cos x+{\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x=0$

বা, $2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$

বা, $2{\cos }^{2}x+2\cos x-\cos x-1=0$

বা, $2\cos x(\cos x+1)-1(\cos x+1)=0$

বা, $(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$

হয়, $2\cos x-1=0$

বা, $\cos x=\frac{1}{2}$

বা, $\cos x=\cos \frac{\pi }{3}$

$\therefore x=\frac{\pi }{3}$

অথবা, $\cos x+1=0$

বা, $\cos x=-1$

বা, $\cos x=\cos \pi$

$\therefore x=\pi$

এরজন্যগ্রহণয়োগ্যনয়এখন$\begin{array}{cc}& 0<x<\pi \text{ এর জন্য, }x=\pi \text{ গ্রহণয়োগ্য নয় }\\ & \therefore x=\frac{\pi }{3}\\ & \text{ এখন, }{g}^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \frac{\pi }{3}-2\sin \frac{2\pi }{3}\end{array}$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}-2,\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=\frac{-3\sqrt{3}}{2}<0$

$\therefore x=\frac{\pi }{3}$ এর জন্য $g\left(x\right)$ ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।

গুরুমান$\begin{array}{cc}\therefore \text{ গুরুমান }& =\sin \frac{\pi }{3}(1+\cos \frac{\pi }{3})\\ & =\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{array}$

নির্ণেয় গুরুমান $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.