সৃজনশীলঃ ‘f(x)=tan⁡x,ABCএকটি ত্রিভুজ।…’ ঢাকা কলেজ ২০২৪ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\tan x$

$\therefore f\left(\alpha \right)=\tan \alpha$ Яবং $f\left(\beta \right)=\tan \beta$

$f(\alpha -\beta )=\tan (\alpha -\beta )$

এবং $\frac{f\left(\alpha \right)}{f\left(\beta \right)}=\frac{3}{2}$বা, $\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }=\frac{3}{2}$বা, $2\tan \alpha =3\tan \beta$

$\therefore \tan \alpha =\frac{3\tan \beta }{2}$

বামপক্ষ$=h(\alpha -\beta )=\tan (\alpha -\beta )$

$=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{\frac{3\tan \beta }{2}-\tan \beta }{1+\frac{3\tan \beta }{2}\cdot \tan \beta }$

$=\frac{\tan \beta }{2+3{\tan }^2\beta }=\frac{\frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{2+3\cdot \frac{{\sin }^2\beta }{{\cos }^2\beta }}$

$=\frac{\sin \beta \cos \beta }{2{\cos }^2\beta +3{\sin }^2\beta }=\frac{2\sin \beta \cos \beta }{4{\cos }^2\beta +6{\sin }^2\beta }$

$=\frac{\sin 2\beta }{4-4{\sin }^2\beta +6{\sin }^2\beta }=\frac{\sin 2\beta }{4+2{\sin }^2\beta }$

$=\frac{{\sin }^2\beta }{5-(1-2{\sin }^2\beta )}=\frac{\sin 2\beta }{5-\cos 2\beta }=\frac{g\left(2\beta \right)}{5-f\left(2\beta \right)}=$ ডানপক্ষ

$\therefore h(\alpha -\beta )=\frac{g\left(2\beta \right)}{5-f\left(2\beta \right)}$ (প্রমাণিত)

উদ্দীপক অনুসারে $△\mathrm{PQR}-\Omega ,P+Q+R=\pi$

বা, $Q+R=\pi -P$বা, $\cot (Q+R)=\cot (\pi -P)$

বা, $\frac{\cot Q\cot R-1}{\cot R+\cot Q}=-\cot P$.

$\therefore \cot Q\cot R+\cot R\cot P+\cot P\cot Q=1\dots \dots$ (i)

আবার, $\cot P+\cot Q+\cot R=\sqrt{3}$

বা, $(\cot P+\cot Q+\cot R{)}^2=3\times 1$

বা, ${\cot }^{2}P+{\cot }^{2}Q+{\cot }^{2}R+2\cot P\cot Q+2\cot Q\cot R$

$+2\cot R\cot P=3(\cot Q\cot R+\cot R\cot P+\cot P\cot Q)$

[(i) হতে মান বসিয়ে]

বা, ${\cot }^{2}P+{\cot }^{2}Q+{\cot }^{2}R-\cot Q\cot R-\cot R\cot P$

$-\cot P\cot Q=0$

বা, $\frac{1}{2}\left\{\right(\cot P-\cot Q{)}^2+(\cot Q-\cot R{)}^2+(\cot R-\cot P{)}^2\}=0$

$\therefore (\cot P-\cot Q{)}^2+(\cot Q-\cot R{)}^2+(\cot R-\cot P{)}^2=0$

কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি শূন্য হলে রাশিগুলোর মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়।

অর্থাৎ, $(\cot P-\cot Q{)}^2=0$ & $(\cot Q-\cot R{)}^2=0$ & $(\cot R-\cot P{)}^2=0$

বা, $\cot P-\cot Q=0$ & বা, $\cot Q-\cot R=0$ & বা, $\cot R-\cot P=0$

বা, $\cot P=\cot Q$ & বা, $\cot Q=\cot R$ & বা, $\cot R=\cot P$

$\therefore P=Q\dots \dots$. (ii) $\therefore Q=R\dots ..$. (iii) $\therefore R=P\dots .$. (iv)

(ii), (iii) ও (iv) নং হতে পাই, $P=Q=R$

$\therefore P=Q=R$

যেহেতু $PQR$ ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান।

সুতরাং PQR ত্রিভুজটি সমবাহু। (দেখানো হনো)