সৃজনশীলঃ ‘f(x) = tanx…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, f(x) = tanx

$\therefore f^{-1}\left(x\right)={\tan }^{-1}x$ এবং $f^{-1}\left(y\right)={\tan }^{-1}y$

প্রশ্নমতে, ${\tan }^{-1}x+{\tan }^{-1}y=\pi$
বা, ${\tan }^{-1}\frac{x+y}{1-xy}=\pi$
বা, $\frac{x+y}{1-xy}=\tan \pi$
বা, $\frac{x+y}{1-xy}=0$
বা, $x+y=0$

∴ y = -  x

অতএব, প্রাপ্ত সঞ্চারপথটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে এবং সরলরেখাটির ঢাল – 1 (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, f(x) = tanx

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{\mathrm{dx}}(\tan x)={\sec }^{2}x$

প্রদত্ত সমীকরণ, $\left\{f\right(x){\}}^2+f^{\prime }(x)=3f(x)$
বা, ${\tan }^{2}x+{\sec }^{2}x=3\tan x$
বা, ${\tan }^{2}x+1+{\tan }^{2}x-3\tan x=0$
বা, $2{\tan }^{2}x-3\tan x+1=0$
বা, $2{\tan }^{2}x-2\tan x-\tan x+1=0$
বা, $2\tan x(\tan x-1)-1(\tan x-1)=0$
বা, $(2\tan x-1)(\tan x-1)=0$

হয়, $2\tan x-1=0$     অথবা, $\tan x-1=0$

বা, $\tan x=\frac{1}{2}$   বা, $\tan x=1$

$\therefore x=n\pi +{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ বা, $\tan x=\tan \frac{\pi }{4}$ 

$\therefore x=n\pi +\frac{\pi }{4}$ , যখন $n\in \dot{U}$

n = 0 হলে, $x={\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right),\frac{\pi }{4}$

n = 1 হলে, $x=\pi +{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ এবং $x=\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$

n = 2 হলে, $x=2\pi +{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে সমাধানসমূহ, 

${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right),\pi +{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right),\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ (Ans.)