সৃজনশীলঃ ‘f(x)=tan⁡x.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২১ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়াআছেধরিমূলনিয়মেরসংংজ্ঞনুসারেহলে$\begin{array}{cc}& \text{ দেওয়া আছে, }f\left(x\right)=\tan x\\ & \therefore f\left(3x\right)=\tan 3x\\ & \text{ ধরি, }g\left(x\right)=f\left(3x\right)=\tan 3x\\ & \therefore g(x+h)=\tan (3x+3h)\\ & \text{ মূল নিয়মের সংংজ্ঞ|নুসারে, }\\ & \frac{d}{dx}g\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\tan (3x+3h)-\tan 3x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}[\frac{\sin (3x+3h)}{\cos (3x+3h)}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}]\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\left[\frac{\sin (3x+3h)\cdot \cos 3x-\cos (3x+3h)\cdot \sin 3x}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}\cdot \frac{\sin (3x+3h-3x)}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin 3h}{h}\cdot \frac{1}{\cos (3x+3h)\cdot \cos 3x}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin 3h}{3h}\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{\cos (3x+3h)\cos 3x}\\ & [\because h\to 0\text{ হলে }3h\to 0]\\ & =3\cdot \frac{1}{\cos (3x+0)\cdot \cos 3x}\\ & =3\cdot \frac{1}{\cos 3x\cdot \cos 3x}=3\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}3x}=3{\sec }^{2}3x\\ & \therefore \frac{d}{\mathrm{dx}}f\left(3x\right)=3{\sec }^{2}3x\text{. }\end{array}$

নির্ণেয় অন্তজ : $3{\sec }^{2}3x$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\tan x$

বা, $f^{\prime }\left(x\right)={\sec }^{2}x$

বা, $y=f\left(x\right)+\sqrt{f^{\prime }\left(x\right)}$

বা, $y=\tan x+\sqrt{{\sec }^{2}x}$

বা, $y=\tan x+\sec x$

বা, $y=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{1}{\cos x}$

বা, $y=\frac{\sin x+1}{\cos x}$.

x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1=\frac{\cos x\frac{d}{dx}(\sin x+1)-(\sin x+1)\frac{d}{dx}\cos x}{{\cos }^{2}x}$

বা, $y_1=\frac{\cos x\cdot \cos x+(\sin x+1)\sin x}{{\cos }^{2}x}$

বা, $y_1=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+\sin x}{1-{\sin }^{2}x}$

বা, $y_1=\frac{1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)}[\because {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1]$

বা, $y_1=\frac{1}{1-\sin x}$

আবার, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_2=\frac{(1-\sin x)\frac{d}{dx}\left(1\right)-1\frac{d}{dx}(1-\sin x)}{(1-\sin x{)}^2}$

বা, $y_2=\frac{(1-\sin x)\cdot 0-1\cdot (0-\cos x)}{(1-\sin x{)}^2}$

বা, $y_2=\frac{\cos x}{(1-\sin x{)}^2}$

বা, $(1-\sin x)y_2=\frac{\cos x}{1-\sin x}$

বা, $(1-\sin x)y_2=\frac{{\cos }^{\circ }x\cdot (1+\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)}$

বা, $(1-\sin x)y_2=\frac{\cos x(1+\sin x}{1-{\sin }^{2}x}$

বা, $(1-\sin x)y_2=\frac{\cos x(1+\sin x)}{{\cos }^{2}x}$

বা, $(1-\sin x)\cdot y_2=\frac{1+\sin x}{\cos x}$

বা, $(1-\sin x)y_2=y$[(1) নং সমীকরণ হতে ]

$\therefore (1-\sin x)y_2-y=0$. (প্রমাণিত)