সৃজনশীলঃ ‘f(x)=tan⁡x+cot⁡x এবং h(y)=acos⁡y−bsin⁡y.…’ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\tan x+\cot x$

শর্তমতে, $f\left(x\right)=2\mathrm{cosec}x;0<x<2\pi$

বা, $\tan x+\cot x=2\mathrm{cosec}x$

বা, $\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}$

বা, $\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin x}$

বা, $\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin x}[\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1]$

বা, $\sin x=2\sin x\cos x$

বা, $2\sin x\cos x=\sin x$

বা, $2\sin x\cos x-\sin x=0$

বা, $\sin x(2\cos x-1)=0$

হয়, $\sin x=0$

এখন, $\sin x=0$

বা, $\sin x=\sin 0$

বা, $x=0$

এবং $\sin x=0$

বা, $\sin x=\sin \pi$

বা, $x=\pi$

আবার,

$\sin x=0=\sin 2\pi$

বা, $x=2\pi$

অথবা, $2\cos x-1=0$

বা, $\cos x=\frac{1}{2}$

$\therefore \cos x=\frac{1}{2}$ হলে,

প্রথম চতুর্ভাগে, $\cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$.

বা, $x=\frac{\pi }{3}$

চতুর্থ চতুর্ভাগে $\cos x=\frac{1}{2}=\cos (2\pi -\frac{\pi }{3})$

বা, $x=2\pi -\frac{\pi }{3}$

বা, $x=\frac{6\pi -\pi }{3}$

বা, $x=\frac{5\pi }{3}$

নির্ণেয় সমাধান, $x=\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}$

দেওয়া আছে, $h\left(y\right)=a\cos y-b\sin y$

$h\left(y\right)=c$ হলে,

$a\cos y-b\sin y=c$

আমরা পাই,

$(a\sin y+b\cos y{)}^2=a^2{\sin }^{2}y+2ab\sin y\cos y+b^2{\cos }^{2}y$

$=a^2(1-{\cos }^{2}y)+2ab\sin y\cos y+b^2(1-{\sin }^{2}y)$

$[\because {\sin }^{2}y=1-{\cos }^{2}y;\cos {}^{2}y=1-{\sin }^{2}y]$

$=a^2+b^2-(a^2{\cos }^{2}y-2ab\sin y\cos y+b^2{\sin }^{2}y)$

$=a^2+b^2-(a\cos y-b\sin y{)}^2$

$=a^2+b^2-c^2$ [মান বসিয়ে] 

বা, $a\sin y+b\cos y=\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}$

সুতরাং $a\sin y+b\cos y=\pm \sqrt{a^2+b^2-c^2}$. (প্রমাণিত)