সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x, পরাবৃত্তের সমীককরপ…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x$

প্রদত্ত রাশি $=\int \frac{\left\{f\right(x){\}}^2+a^2}{\left\{f\right(x){\}}^4+a^4}dx$

$=\int \frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx$

$=\int \frac{x^2(1+\frac{a^2}{x^2})}{x^2(x^2+\frac{a^4}{x^2})}dx$

ধরি, $(x-\frac{a^2}{x})=z$

$\therefore (1+\frac{a^2}{x^2})dx=dz$

$=\int \frac{(1+\frac{a^2}{x^2})dx}{x^2+\frac{a^2}{x^2}}=\int \frac{(1+\frac{a^2}{x^2})dx}{{(x-\frac{a^2}{x})}^2+2a^2}$

$\begin{array}{cc}& =\int \frac{dz}{z^2+2a^2}\\ & =\int \frac{dz}{z^2+(\sqrt{2}a{)}^2}\end{array}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}a}{\tan }^{-1}\frac{z}{\sqrt{2}a}+c=\frac{1}{\sqrt{2}a}{\tan }^{-1}\frac{(x-\frac{a^2}{x})}{\sqrt{2}a}+c$

দেওয়া আছে, $y^2=16x......\left(i\right)$

এবং $y=x........\left(ii\right)$

(i) নং এ $y=x$ বসিয়ে পাই,

বা, $x^2=16x$

বা, $x(x-16x=0$

$\therefore x=0,x=16$

এখানে, এবং$y_1^2=16x\text{ এবং }{y}_2=x$

বা, $y_1=\pm \sqrt{16x}=\pm 4\sqrt{x}$ এবং $x$-অক্ষের উপরে $y_1$ ধনাত্মক।

$\therefore$ পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

$={\int }_0^{16}(y_1-y_2)dx={\int }_0^{16}(4\sqrt{x}-x)dx={\int }_0^{16}(4\cdot x^{\frac{1}{2}}-x)dx$

$={[4\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}]}_0^{16}=(\frac{8}{3}\cdot (16{)}^{\frac{3}{2}}-\frac{256}{2})-0=\frac{8}{3}\cdot {\left(4^2\right)}^{\frac{3}{2}}-128$

$=\frac{8}{3}\times 64-128=\frac{512}{3}-128=\frac{512-384}{3}=\frac{128}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\frac{128}{3}$ বর্গ একক।