সৃজনশীলঃ ‘f(x)=(x−1x)2n[n∈N]⋅g(x)=(1+x)n(1+1x)q[p,q∈N]…’ a – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া आंছে, $f\left(x\right)={(x-\frac{1}{x})}^{2n}$ 
এখানে, ঘাত $2n$ যা জোড় সংখ্যা ৷
 অতএব, মধ্যপদ হবে একটি। 
${(x-\frac{1}{x})}^{2n}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হবে $(\frac{2n}{2}+1)$ তম বা $(n+1)$ - তম পদ।

$(n+1)$ তম পদ $={}^{2n}{C}_n\cdot x^{2n-n}\cdot {(-\frac{1}{x})}^n$

$\begin{array}{cc}& ={}^{2n}{C}_n{x}^n\frac{1}{x^n}(-1{)}^n={}^{2n}{C}_n(-1{)}^n=\frac{\left(2n\right)!}{(n!{)}^2}(-1{)}^n\\ & =\frac{2n(2n-1)(2n-2)\dots 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(n!{)}^2}(-1{)}^n\\ & =\frac{\{1.3.5\dots \dots (2n-1\left)\right\}(2.4\cdot 6\dots \dots 2n)}{(n!{)}^2}\cdot (-1{)}^n\\ & =\frac{\{1.3.5\dots ..(2n-1\left)\right\}\left\{\right(2.1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\dots .(2\cdot n\left)\right\}}{(n!{)}^2}(-1{)}^n\\ & =\frac{\{1.3.5\dots \dots (2n-1\left)\right\}\cdot 2^{n}n!}{(n!{)}^2}(-1{)}^n\\ & =\frac{1.3.5\dots \dots .(2n-1)}{n!}(-2{)}^n\end{array}$

$\therefore f\left(x\right)$ এর বিস্তৃতির মধ্যপদ $=\frac{1.3.5\dots .....(2n-1)}{n!}(-2{)}^n$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=(1+x{)}^p{(1+\frac{1}{x})}^q;p,q\in N$

$=(1+x{)}^p\cdot \frac{(1+x{)}^q}{x^q}=\frac{(1+x{)}^{p+q}}{x^q}$

$(r+1)$ তম পদ $={}^{p+q}{C}_r\cdot \frac{x^r}{x^q}={}^{p+q}{C}_r\cdot x^{r-q}$

$x$ মুক্ত পদের জন্য, $r-q=0$ বা; $r=q$.
$\therefore (q+1)$ তম পদ $x$ মুক্ত ।
$\therefore (q+1)$ उ्य পদ $={}^{p+q}{C}_q=\frac{(p+q)!}{q!(p+q-q)!}=\frac{(p+q)!}{q!p!}$
নির্ণেয় $x$ বর্জিত পদ $\frac{(p+q)!}{q!p!}$