সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x+1xএবংg(x)=4−3sin⁡x…’ সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=x+1/x$

$\therefore f^{\prime }\left(x\right)=1-1/x^r.$

$\therefore f^{\prime \prime }\left(x\right)=0-\frac{(-2)}{x^3}$

$=2/x^3$

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন বিন্দুতে,

$f^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 1-1/x^2=0$

$\Rightarrow x^2-1=0$

$\Rightarrow x^2=1$

$\therefore x=\pm 1$

x =1 হলে,

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=2/1^m=270$

$\therefore$লঘুমান বিদ্যমান

$\therefore$ লঘুমান $=1+\frac{1}{1}=1+1$

= 2

x = -1 হলে,

$f^{\prime \prime }=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

$\therefore$ গুরুমান বিদ্যমান

$\therefore$ গুরুমান $=-1+\frac{1}{-1}=-1-1$

= -2

এখানে গুরুমান < লঘুমান

$x=-1-2(m,f^{\prime \prime }=\frac{2}{(-1{)}^3}=-2<0$

$\therefore$ এর গুরুমান লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতম (showed)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=\sqrt{4+3\sin x}$

$\Rightarrow y=\sqrt{4+3\sin x}$

$Rightarrow y^2=4+3 sin x ......{i}$

$\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(y^2\right)=\frac{d}{dx}(4+3\sin x)$

$\Rightarrow 2y\cdot \frac{dy}{dx}=0+3\cos x$

$\Rightarrow 2y{y}_1=3\cos x$

$\Rightarrow \frac{d}{dx}(2y{y}_1=\frac{d}{dx}(3\cos x)$

$\Rightarrow 2y\cdot y+y_1\cdot 2y=-3{\sin }_{1}x$

$\Rightarrow 2y\cdot \frac{d^{2}y}{d{x}^r}+2y_1^r=-(y^2-4)$

$\Rightarrow 2y\frac{d^{r}y}{d{x}^r}+2\cdot {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^r=-y^r+y$

$\therefore 2y\frac{d^{r}y}{d{x}^r}+2{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+y^r=y\left(Proved\right)$