সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x−2 এবং a=pω2+q+rω,b=pω+q+rω2…’ – বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $a=p{\omega }^2+q+r\omega$

$b=p\omega +q+r{\omega }^2$ যেখানে $\omega$ এককের ঘনমূলগুলির  একটি জটিল ঘনমূল

$a^3+b^3=0$

বা. $(a+b)(a^2-ab+b^2)=0$
বা, ${(a+b)\{a^2+(\omega +{\omega }^2)ab+{\omega }^1\cdot b^2\}=0\mid \because 1+\omega +0)}^2=0$ এ ( ${\omega }^3=11$
বা, $(a+b)(a^2+ab\omega +ab{\omega }^2+b^2{\omega }^3)=0$
বা, $(a+b)\left\{a\right(a+b\omega )+b{\omega }^2(a+b\omega \left)\right\}=0$
বা, $(a+b)(a+b\omega )(a+b{\omega }^2)=0$
হয়, $a+b=0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p\omega +q+r{\omega }^2=0$
বা, $p(\omega +{\omega }^2)+2q+r(\omega +{\omega }^2)=0$
বা, p. $(-1)+2q+r\cdot (-1)=0|\because 1+\omega +{\omega }^2=0|$
বা, $-p+2q-r=0$

$\therefore 2q=r+p$

অথবা, $a+b\omega =0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +(p\omega +q+r{\omega }^2)\omega =0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^2+q\omega +r{\omega }^3=0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^2+q\omega +r.I=0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $2p{\omega }^2+q(1+\omega )+r(1+\omega )=0$
বা, $2p{\omega }^2+q\cdot (-{\dot{\omega }}^2)+$ r. $(-{\omega }^2)=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $2p{\omega }^2-q{\omega }^2-r{\omega }^2=0$
বা, ${\omega }^2(2p-q-r)=0$,
বা, $2p-q-r=0$

$\therefore 2p=q+r$

অথবা, $a+b{\omega }^2=0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +(p\omega +q+r{\omega }^2){\omega }^2=0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^3+q{\omega }^2+r{\omega }^4=0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^3+q{\omega }^2+r{\omega }^3\cdot \omega =0$
বা, $p{\omega }^2+q+r\omega +p\cdot 1+q{\omega }^2+r\cdot 1\cdot \omega =0[\because {\omega }^3=1]$
বা, $p(1+{\omega }^2)+q(1+{\omega }^2)+2r\omega =0$ :
বা, p. $(-\omega )+q\cdot (-\omega )+2r\omega =0\cdot [\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$
বা, $-p\omega -q\omega +2r\omega =0$
বা, $\omega (-p-q+2r)=0$
বা, $-p-q+2r=0$

$\therefore 2r=p+q$

সুতরাং $2p=q+r,2q=r+p$ এবंং $2r=p+q$. (প্রমাণনি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x-2$
বা, $\frac{f\left(x\right)}{f(x+2)}<\frac{f(x+3)}{f(x+4)}$
বা, $\frac{x-2}{(x+2)-2}<\frac{(x+3)-2}{(x+4)-2}$
বা, $\frac{x-2}{x}<\frac{x+1}{x+2}$
বা, $\frac{x-2}{x}-\frac{x+1}{x+2}<0$
বা, $\frac{(x^2-4)-(x^2+x)}{x(x+2)}<0$
বা, $\frac{-x-4}{x(x+2)}<0$
বা, $\frac{x+4}{x(x+2)}>0$$$ ......................(i)

(i) নং সত্য হবে যদি x(x + 2) . (x + 4 ) রাশি তিনটির যেকোনো ধনাত্মক ও অপর দুইটি ঋণাত্মক অথবা তিনটিই ধনাত্মক হয়।

সুতরাং (i) নং সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি - $4<x<-2$ অথবা $x>0$ হয়।
নির্ণেয় সমাধান : $-4<x<-2$ অথবা $x>0$.
সমাধান সেট, $S=\{x\in R:-4<x<-2$ অথবা $x>0\}$
নিচে সংখ্যারেখায় সমাধান সেট দেখানো হলো :