সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2−25 এবং g(y)=y3−y2−14y+24.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $g\left(y\right)=y^3-y^2-14y+24$
বা, $y^3-2y^2+y^2-2y-12y+24=0$
বা, $y^2(y-2)+y(y-2)-12(y-2)=0$
বা, $(y-2)(y^2+y-12)=0$ 

 বা,$y-2=0$ 
$\therefore y=2$ 

অথবা, $y^2+y-12=0$
বা, $y^2+4y-3y-12=0$
বা, $y(y+4)-3(y+4)=0$
বা, $(y+4)(y-3)=0$
অথবা, $y-3=0$

$\therefore y=3$ 

বা, $y+4=0$ 

$\therefore y=-4$ 

নির্ণেয় মান : $y=-4,2,3$. 

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-25$ 

$\therefore \frac{x^2}{f\left(x\right)}=\frac{x^2}{x^2-25}=\frac{x^2}{(x{)}^2-(5{)}^2}=\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}$ 

ধরি, $\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}\equiv 1+\frac{A}{x+5}+\frac{B}{x-5}$ 

$\left(1\right)$ নং এর উভয়পক্ষকে $(x+5)(x-5)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2=(x+5)(x-5)+A(x-5)+B(x+5)$

$\left(2\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=5$ বসিয়ে পাই,

$(5{)}^2=(5+5\left)\right(5-5)+A(5-5)+B(5+5)$

বা, $25=0+A\times 0+10B$
বা, $B=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$
আবার, (2) নং এর উভয়পক্ষে $x=5$ বসিয়ে পাই,

$(-5{)}^2=(-5+5\left)\right(-5-5)+A(-5-5)+B(-5+5)$

বা, $25=0+A\times (-10)+B\times 0$
বা, $-10A=25$
বাঁ, $A=-\frac{25}{10}-\frac{5}{2}$
এখন, $\left(1\right)$ নং এ $A$ ও $B$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{(x+5)(x-5)}\equiv 1+\frac{-\frac{5}{2}}{x+5}+\frac{\frac{5}{2}}{x-5}=1-\frac{5}{2(x+5)}+\frac{5}{2(x-5)}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ ।