সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2−4qx+p2ও g(x)=qx2+px+q যেখানে…’ চট্টগ্রাম কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$q{x}^2+px+q=0$ ..... (i)

ধরি, (i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,B$.

$\alpha +\beta =-\frac{p}{q}$

$\alpha \beta =\frac{q}{q}=1$

প্রশ্নমতে,

$\alpha +B=\pm 3(\alpha -\beta )$

$\Rightarrow (\alpha +\beta {)}^2=9(\alpha -\beta {)}^2$ [বর্গ করে]

$\Rightarrow (\alpha +\beta {)}^2=9\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta \}$

$\Rightarrow (\alpha +\beta {)}^2=9(\alpha +\beta {)}^2-36\alpha \beta$

$\Rightarrow 8(\alpha +B{)}^2=36\alpha \beta$

$\Rightarrow 8{(-\frac{P}{q})}^2=36.1$

$\Rightarrow {\left(\frac{p}{2}\right)}^2=\frac{36}{8}$

$\Rightarrow {\left(\frac{p}{q}\right)}^2=\frac{q}{2}$

$\frac{p}{q}$ ও $\frac{q}{p}$ -এর বর্গের সমষ্টি = ${\left(\frac{p}{q}\right)}^2+{\left(\frac{q}{p}\right)}^2$

$=\frac{9}{2}+\frac{2}{9}$

$=\frac{85}{18}$

আবার,

$\frac{p}{q},$ ও $\frac{q}{p}$ অন্তরফলের

পরমমান $=|{\left(\frac{p}{q}\right)}^2-{\left(\frac{q}{p}\right)}^2|$

$=|\frac{9}{2}-\frac{2}{9}|$

$=\left|\frac{77}{18}\right|$

$\therefore \frac{85}{18}$ এবং $\frac{77}{18}$মূল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ হল,

$x^2-(\frac{85}{18}+\frac{77}{18})x+\frac{85}{18}\cdot \frac{77}{18}=0.$

$\Rightarrow x^2-9x+\frac{6545}{324}=0$

$\Rightarrow 324x^2-2916x+6545=0$

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=0$

$\Rightarrow 2x^2+px+q=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha ,B$

$\therefore \alpha +B=-\frac{p}{2}$ এবং $\alpha B=1$

আবার, $f\left(x\right)=0$

$\Rightarrow x^2-42x+p^2=0$সমীকরণের মূলদ্বয়$\mu ,\delta$

$\therefore \mu +\delta =4q\Delta 2÷\mu .\delta =p^2$

$\because \alpha ,\beta ,\mu ,\delta$গুনোত্তর

$\therefore \frac{\alpha }{B}=\frac{\mu }{\delta }$

$\Rightarrow \frac{\alpha +B}{\alpha -B}=\frac{\mu +\delta }{\mu -\delta }$ [যোজন বিয়োজন করে]

$\Rightarrow \frac{(\alpha +B{)}^2}{(\alpha -\beta {)}^2}=\frac{(\mu +\delta {)}^2}{(\mu -\delta {)}^2}$ [বর্গ করে]

$\Rightarrow \frac{(\alpha +\beta {)}^2}{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }=\frac{(\mu +\delta {)}^2}{(\mu +\delta {)}^2-4\mu \delta }$.

$\Rightarrow \frac{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2}=\frac{(\mu +\delta {)}^2-4\mu \delta }{(\mu +\delta {)}^2}$ [একান্তর করে]

$\Rightarrow \frac{-4\alpha B}{(\alpha +B{)}^2}=\frac{-4\mu \delta }{(\mu +\delta {)}^2}$ [বিয়োজন করে]

$\Rightarrow \frac{-4.1}{(-p/q{)}^2}=\frac{-4p^2}{(4q{)}^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\frac{p^2}{q^2}}=\frac{p^2}{16q^2}$

$\Rightarrow \frac{q^2}{p^2}=\frac{p^2}{16q^2}$

$\Rightarrow p^4=16q^4$

$\Rightarrow p^4-16q^4=0$