সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2−4x+5,g(x)=x+1φ(x)=lx2+mx+n,ψ(x)=nx2+mx+boldsymboll…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২২ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\text{boldsymbol}\phi \left(x\right)={\mathrm{lx}}^2+\mathrm{mx}+n$ এবং $\Psi \left(x\right)={\mathrm{nx}}^2+\mathrm{mx}+1$.

এখানে, $\text{boldsymbol}\phi \left(x\right)=0$

বা, $1x^2+mn+n=0$

এবং $\Psi \left(x\right)=0$

বা, ${\mathrm{nx}}^2+\mathrm{mn}+1=0$

সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল $\alpha$ হলে; $\alpha$ দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হরে।

$\therefore l{\alpha }^2+m\alpha +n=0...........\left(i\right)$

এবং $n{\alpha }^2+m\alpha +1=0............\left(ii\right)$

(i) ও (ii) হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসারে, $\frac{{\alpha }^2}{ml-mn}=\frac{a}{n^2-1^2}=\frac{1}{1m-mn}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{m(1-n)}=\frac{\alpha }{-(1+n)(1-n)}=\frac{1}{m(1-n)}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{m}=\frac{\alpha }{-(1+n)}=\frac{1}{m}$

$\therefore \frac{{\alpha }^2}{m}=\frac{\alpha }{-(1+n)}$ এবং $\frac{◻}{-(1+n)}=\frac{1}{m}$

বা,$\alpha =\frac{-m}{1+n}$ या, $\alpha =\frac{-(l+n)}{m}$

$\therefore \frac{-m}{1+n}=\frac{-(1+n)}{m}$

বা, $m^2=(1+n{)}^2$

$m=\pm (1+n)$.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2+4x+5$

এখন, $f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=0$

বা, $(x^2-4x+5)(x+1)=0$

বা, $x^3+x^2-4x^2-4x+5x+5=0$

বা, $x^3-3x^2+x+5=0$

ধরি, (i) নং এর মূলত্রয় p, q,r

$\therefore p+q+r=3$

$pq+qr+rp=1$

pqr $=-5$

$\sum p^{3}q=p^{3}q+p^{3}r+q^{3}r+q^{3}p+r^{3}p+r^{3}q$

$=pq(p^2+q^2+r^2)+qr(p^2+q^2+r^2)+rp(p^2+q^2+r^2)-pq{r}^2-p^{2}qr-p{q}^2$

$=pq(p^2+q^2+r^2)+q{p}^3+q+r^2$

$=(p^2+q^2+r^2)(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})-\mathrm{pqr}(p+q+r)$

$=\left\{\right(p+q+r{)}^2-2(\mathrm{pq}+qr+rp)\}1-(-5).3$

$=(3^2-2\cdot 1)+15=(9-2)+15=22$

নির্ণেয় $\Sigma p^{3}q=22$.