সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x2−4x+5,g(x)=x+1,φ(x)=lx2+mx+n,ψ(x)=nx2+mx+l…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\phi \left(x\right)=l{x}^2+mx+n$ এবং, $\psi \left(x\right)=n{x}^2+mx+1$ এখানে, $\phi \left(x\right)=0$ বা, $l{x}^2+\mathrm{mn}+n=0$
এবং $\Psi \left(x\right)=0$
বা, ${\mathrm{nx}}^2+\mathrm{mn}+l=0$
সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূল $\alpha$ হলে, $\alpha$ দ্বারা উভ়য় সমীকরণ সিদ্ধ হবে।

$\therefore l{\alpha }^2+m\alpha +n=0$$..........\left(i\right)$

এবং $n{\alpha }^2+m\alpha +l=0$$..........\left(ii\right)$

$\left(i\right)$ ও $\left(ii\right)$ হতে বজ্রগুণনের সূত্রানুসারে,

$\frac{{\alpha }^2}{ml-mn}=\frac{\alpha }{n^2-l^2}=\frac{1}{lm\mathrm{mn}}$

বা, $\frac{{\alpha }^2}{m(l-n)}=\frac{\alpha }{-(l+n)(l-n)}=\frac{1}{m(l-n)}$
বা, $\frac{{\alpha }^2}{m}=\frac{\alpha }{-(l+n)}=\frac{1}{m}$

$\therefore \frac{{\alpha }^2}{m}=\frac{\alpha }{-(l+n)}$ এবং  $\frac{\alpha }{-(l+n)}=\frac{l}{m}$

বা, $\alpha =\frac{-m}{l+n}$ বা, $\alpha =\frac{-(l+n)}{m}$

$\therefore \frac{-m}{l+n}=\frac{-(l+n)}{m}$ 

বা, $m^2=(l+n{)}^2$ 

$\therefore m=\pm (l+n)$. 

দেওয়া আছে,$f\left(x\right)=x^2-5x+5$; $g\left(x\right)=x+1$

এখন, $f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=0$
বा, $(x^2-4x+5)(x+1)=0$ 

বা, $x^3-3x^2+x+5=0$$.........\left(i\right)$

ধরি, $\left(i\right)$ নং এর মূলত্রয় $p,q,r$

$\begin{array}{cc}\therefore & p+q+r=3\\ & pq+qr+rp=1\\ & pqr=-5\end{array}$

$\begin{array}{cc}\sum p^{3}q& =p^{3}q+p^{3}r+q^{3}r+q^{3}p+r^{3}p+r^{3}q\\ & =pq(p^2+q^2+r^2)+qr(p^2+q^2+r^2)\end{array}$$+rp(p^2+q^2+r^2)-pq{r}^2-p^{2}qr-p{q}^{2}r$

$\begin{array}{cc}& =(p^2+q^2+r^2)(pq+qr+rp)-pqr(p+q+r)\\ & =\left\{\right(p+q+r{)}^2-2(pq+qr+rp)\}\cdot 1-(-5)\cdot 3\\ & =(3^2-2\cdot 1)+15=(9-2)+15=22\end{array}$ 

নির্ণেয় $\sum p^{3}q=22$.